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1.2: Fracciones - Matemáticas


Las fracciones son una parte fundamental para construir una base sólida de álgebra. Aquí, revisamos brevemente cómo reducir, multiplicar, dividir, sumar y restar fracciones.

El primer uso conocido de las fracciones proviene del Reino Medio de Egipto alrededor del año 2000 a. C.

Reducir fracciones

Las fracciones siempre deben reducirse. No siempre lo decimos, pero sabemos que debemos hacerlo. Reducimos las fracciones dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número, llamado a. Dividimos por factores comunes hasta que no haya más factores comunes entre el numerador y el denominador.

[0,15 cm] Simplifica: ( dfrac {36} {84} ) [art0]

[ begin {alineado} dfrac {36} {84} & & text {Dividir por un factor común de 4} & & dfrac {36 div 4} {84 div 4} = dfrac {9} {21} & & text {Dividir por un factor común de 3} & & dfrac {9 div 3} {21 div 3} = dfrac {3} {7} & & text {No más factores comunes} && dfrac {3} {7} && text {Fracción simplificada} end {alineado} ]

En el ejemplo [art0], podríamos haber reducido fácilmente la fracción en un paso dividiendo el numerador y el denominador por 12. También podríamos haber simplificado en más pasos dividiendo por 2 dos veces y luego dividiendo por 3 una vez (en cualquier orden). No es importante qué método usemos siempre que continuemos reduciendo nuestra fracción hasta que no haya factores comunes entre el numerador y el denominador.

Multiplicando fracciones

Multiplicamos fracciones multiplicando directamente a través de numeradores y denominadores: [ dfrac {a} {b} cdot dfrac {c} {d} implica dfrac {a cdot c} {b cdot d} ] Entonces simplificar, si es posible.
( skull ) ¡Asegúrate de simplificar siempre la fracción! Esta es una práctica común en matemáticas y debería volverse habitual después de revisar esta sección.

[0,15 cm] Multiplica: ( dfrac {6} {7} cdot dfrac {3} {5} )

[ begin {alineado} dfrac {6} {7} cdot dfrac {3} {5} & & text {Multiplica numeradores y denominadores} & & dfrac {6 cdot 3} {7 cdot 5} && text {Simplify} && dfrac {18} {35} & & text {Sin factores comunes} && dfrac {18} {35} && text {Producto} end {alineado} ]

Al multiplicar, podemos reducir nuestras fracciones antes o después de multiplicar. Podemos reducir con una sola fracción o con varias fracciones, siempre que usemos un factor común entre el numerador y el denominador.

Multiplica: ( dfrac {25} {24} cdot dfrac {32} {55} ) [redfrac1]

Primero reduzcamos cada fracción y luego multipliquemos. [ begin {align} dfrac {25} {24} cdot dfrac {32} {55} & & text {Reduce 25 & 55 por un factor común de 5} & & dfrac {5} {24} cdot dfrac {32} {11} & & text {Reducir 24 & 32 por un factor común de 8} & & dfrac {5} {3} cdot dfrac {4} {11} & & text {Multiplica fracciones} & & dfrac {20} {33} & & text {Sin factores comunes} && dfrac {20} {33 } && text {Producto} end {alineado} ]

[0,15 cm] Multiplica: ( dfrac {25} {24} cdot dfrac {32} {55} ) [redfrac2]

Primero multipliquemos y luego reduzcamos la fracción. [ begin {alineado} dfrac {5} {6} cdot dfrac {3} {10} & & text {Multiplica fracciones} & & dfrac {15} {60} & & text {Reducir en un factor de 15} & & dfrac {15 div 15} {60 div 15} & & text {Simplify} & & dfrac {1} {4} & & text {Sin factores comunes} && dfrac {1} {4} && text {Producto} end {alineado} ]

Podemos ver en los ejemplos [redfrac1] y [redfrac2] que realmente no importa si primero reducimos o multiplicamos. A medida que avancemos en este curso, el estudiante decidirá qué técnica utilizar para este tipo de problemas.

División de fracciones

Dividir fracciones es similar a multiplicar fracciones con un paso adicional. Reescribiremos la fracción detrás del signo de división como su recíproco y cambiaremos el signo de división a multiplicación. Luego multiplica como de costumbre: [ dfrac {a} {b} div dfrac {c} {d} implica dfrac {a} {b} cdot dfrac {d} {c} implica dfrac { a cdot d} {b cdot c} ]

[0,15 cm] Dividir: ( dfrac {21} {16} div dfrac {28} {6} )

[ begin {alineado} dfrac {21} {16} div dfrac {28} {6} & & text {Reescribe la expresión como un producto} & & dfrac {21} {16 } textcolor {azul} { cdot dfrac {6} {28}} & & text {Reducir las fracciones} & & dfrac {3} {8} cdot dfrac {3} {4 } & & text {Multiplica fracciones} & & dfrac {9} {32} & & text {Cociente} end {alineado} ]

A veces representamos la división con fracciones escribiendo una fracción sobre una fracción, llamada fracción compleja. Sin embargo, usamos el mismo método, solo cambia la presentación:

Dividir: ( dfrac { dfrac {14} {15}} { dfrac {7} {60}} )

[ begin {alineado} dfrac { dfrac {14} {15}} { dfrac {7} {60}} && text {Reescribe la fracción compleja con el signo de división} && dfrac { 14} {15} div dfrac {7} {60} & & text {Reescribe la expresión como un producto} & & dfrac {14} {15} textcolor {blue} { cdot dfrac {60} {7}} & & text {Reducir las fracciones} & & dfrac {2} {1} cdot dfrac {4} {1} & & text {Multiplicar fracciones} & & dfrac {8} {1} & & text {Simplificar} && 8 && text {Cociente} end {alineado} ]

Sumar y restar fracciones

Para sumar y restar fracciones, primero discutiremos el mínimo común múltiplo (MCM). Esto conducirá directamente al mínimo común denominador (LCD).

El Mínimo común múltiplo (LCM) de un conjunto de factores es el número más pequeño que es divisible por todos los factores del conjunto. Si (a, b, c ) son enteros positivos, entonces denotamos el MCM de este conjunto como MCM ((a, b, c) ).

[0,15 cm] Calcula el mcm ((2,3,5) ).

Necesitamos pensar en un múltiplo de 2, 3 y 5 que sea divisible por estos números. Si multiplicamos 2, 3 y 5, obtenemos [2 cdot 3 cdot 5 = 30 ] Y entonces, el MCM ((2,3,5) = 30 ) porque 30 es divisible por 2, 3 y 5.

Veamos un caso más desafiante:

Encuentre el MCM ((6,35,54) ).

Cuando los números no son tan obvios, podemos usar la siguiente estrategia para encontrar el LCM:

  1. Encuentra la factorización prima de cada número en tu conjunto. [ begin {alineado} 6 & = 2 cdot 3 35 & = 5 cdot 7 54 & = 2 cdot 3 ^ 3 end {alineado} ]
  2. Mire todos los factores y tome uno de cada factor. Para los factores con exponentes, tome los factores con el exponente más alto. [ begin {alineado} 2 & qquad text {toma 2} 3 ^ 3 & qquad text {toma 3 con el exponente más alto} 5 & qquad text {toma 5} 7 & qquad text {toma 7} end {alineado} ]
  3. Multiplica los números encontrados en el paso anterior. Este producto es el LCM. [ text {LCM} (6,35,54) = 2 cdot 3 ^ 3 cdot 5 cdot 7 = 1890 ]

El (MCD) es el MCM de todos los denominadores dados en un conjunto de fracciones.

[0.15cm] Encuentre el LCD entre ( dfrac {5} {6} ) y ( dfrac {4} {9} ). Reescribe cada fracción con la pantalla LCD.

Si necesitamos obtener la pantalla LCD, podemos seguir una serie de pasos.

  1. Encuentre el MCD, es decir, el MCM entre denominadores. En este caso, necesitamos encontrar el MCM ((6,9) ). [ begin {alineado} 6 & = 2 cdot 3 9 & = 3 ^ 2 end {alineado} ] Podemos ver que el MCM ((6,9) = 2 cdot 3 ^ 2 = 18 ). Esta es la pantalla LCD.
  2. A continuación, reescribimos cada fracción con la pantalla LCD. [ begin {alineado} dfrac {5} {6} & & text {Multiplica el numerador y el denominador por 3} dfrac {5} {6} cdot dfrac {3} {3} & & text {Observe que obtenemos 18 en el denominador} dfrac {15} {18} && text {El denominador es el LCD} checkmark end {alineado} ] [ begin {alineado} dfrac {4} {9} & & text {Multiplica el numerador y el denominador por 2} dfrac {4} {9} cdot dfrac {2} {2} & & text {Observa que obtenemos 18 en el denominador} dfrac {8} {18} && text {El denominador es el LCD} checkmark end {alineado} ]

Al sumar y restar fracciones con el mismo denominador, sumar y restar entre numeradores y mantener el mismo denominador. Luego simplifique, si es posible.

[0.15cm] Agregar: ( dfrac {7} {8} + dfrac {3} {8} )

[ begin {alineado} dfrac {7} {8} + dfrac {3} {8} & & text {Mismo denominador, suma entre numeradores} & & dfrac {10} {8} & & text {Reducir en un factor común de 2} & & dfrac {5} {4} & & text {Sum} end {align} ]

Reducimos la fracción como último paso. Observe, primero sumamos (o restamos) y juntamos las fracciones como una fracción, luego simplificamos a los términos más bajos.
Además, mientras que ( frac {5} {4} ) se puede escribir como el número mixto (1 frac {1} {4} ), en álgebra, apenas usamos números mixtos. Por esta razón, siempre usamos fracciones impropias, no números mixtos.

Restar: ( dfrac {13} {6} - dfrac {9} {6} )

[ begin {alineado} dfrac {13} {6} - dfrac {9} {6} & & text {Mismo denominador, resta entre numeradores} & & dfrac {4} {6} & & text {Reducir por un factor común de 2} & & dfrac {2} {3} & & text {Diferencia} end {alineado} ]

Al sumar y restar fracciones con denominadores diferentes, reescribimos cada fracción con la pantalla LCD. Luego suma y resta como de costumbre.

[0.15cm] Agregar: ( dfrac {5} {6} + dfrac {4} {9} )

[ begin {alineado} dfrac {5} {6} + dfrac {4} {9} & & text {Distintos denominadores; LCD} (6,9) = 18 & & dfrac {5} {6} cdot dfrac {3} {3} + dfrac {4} {9} cdot dfrac {2} { 2} & & text {Reescribe cada fracción con el LCD} & & dfrac {15} {18} + dfrac {8} {18} & & text {Mismo denominador, suma entre numeradores} & & dfrac {23} {18} & & text {Sin factores comunes} & & dfrac {23} {18} & & text {Sum} end {alineado} ]

Restar: ( dfrac {2} {3} - dfrac {1} {6} )

[ begin {alineado} dfrac {2} {3} - dfrac {1} {6} & & text {Distintos denominadores; LCD} (3,6) = 6 & & dfrac {2} {3} cdot dfrac {2} {2} + dfrac {1} {6} & & text {Reescribe cada fracción con el LCD} & & dfrac {4} {6} - dfrac {1} {6} & & text {Mismo denominador, resta entre numeradores} & & dfrac {3} {6} & & text {Reducir en un factor común de 3} & & dfrac {1} {2} & & text {Diferencia} end {alineado} ]


Ver el vídeo: a fraccion. as fraction. decimal a fraccion (Octubre 2021).