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7.2: Parábolas - Matemáticas


Al igual que las elipses, ha visto parábolas (por ejemplo, la definición alternativa de una elipse descrita en el Ejercicio [exer: ellipdirectrix] en la Sección 7.1 es, de hecho, similar a la definición de la parábola:

La figura [fig: parabolavert] ilustra la definición anterior, con un punto (P ) moviéndose a lo largo de la parábola de modo que la distancia desde (P ) al foco (F ) sea igual a la distancia desde (P ) a la directriz (D ). Tenga en cuenta que el punto a medio camino entre el enfoque y la directriz debe estar en la parábola; ese punto es el vértice, que es el punto de la parábola más cercano a la directriz. La eje de la parábola es la línea que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz. Observe que la razón ( frac {PF} {PG} ) es igual a 1, mientras que la razón para una elipse, según la definición alternativa, era la excentricidad (e <1 ). La excentricidad de la parábola, por lo tanto, siempre es 1.4

Para construir una parábola a partir de la definición, corte un trozo de cuerda para que tenga la misma longitud (AB ) que un lado de un triángulo de dibujo, como en la Figura [fig: paraboladraw].

Sujete un extremo de la cuerda al vértice (A ) del triángulo y el otro extremo a un alfiler en algún lugar entre (A ) y (B ); el alfiler será el foco (F ) de la parábola. Sostenga la cuerda tensa contra el borde ( overline {AB} ) del triángulo en un punto (P ) a cada lado del alfiler, luego mueva el borde ( overline {BC} ) del triángulo a lo largo de la directriz (D ). La figura dibujada será una parábola, ya que las longitudes (PF ) y (PB ) serán iguales (ya que la longitud de la cuerda es (AB = AP + PF ) significa (PF = PB ) ). Para derivar la ecuación de una parábola en el plano (xy ) -, comience con el caso simple del foco en el eje (y ) - en ((0, p) ), con (p> 0 ), y la línea (y = -p ) como directriz, como en la figura de la derecha. El vértice está entonces en el origen ((0,0) ). Elija un punto ((x, y) ) cuyas distancias (d_1 ) y (d_2 ) desde el foco ((0, p) ) y la directriz (y = -p ), respectivamente, son iguales. Luego

[ begin {alineado} d_1 ^ 2 ~ & = ~ d_2 ^ 2 (x-0) ^ 2 ~ + ~ (yp) ^ 2 ~ & = ~ (xx) ^ 2 ~ + ~ (y + p ) ^ 2 x ^ 2 ~ + ~ cancel {y ^ 2} ~ - ~ 2py ~ + ~ cancel {p ^ 2} ~ & = ~ cancel {y ^ 2} ~ + ~ 2py ~ + ~ cancel {p ^ 2} x ^ 2 ~ & = ~ 4py end {alineado} ] En otras palabras, (y = frac {1} {4p} x ^ 2 ), que es más forma familiar de una parábola. Por lo tanto, cualquier curva de la forma (y = ax ^ 2 ), con (a ne 0 ), es una parábola cuyo foco y directriz se pueden encontrar dividiendo (a ) por (4 ) : (p = frac {a} {4} ), de modo que el foco está en ( left (0, frac {a} {4} right) ) y la directriz es la línea ( y = - frac {a} {4} ). Por ejemplo, la parábola (y = x ^ 2 ) tiene su foco en ( left (0, frac {1} {4} right) ) y su directriz es la línea (y = - frac {1} {4} ).

Cuando (p> 0 ) la parábola (4py = x ^ 2 ) se extiende hacia arriba; para (p <0 ) se extiende hacia abajo, como en la Figura [fig: parabolap] (a) a continuación:

Al cambiar los roles de (x ) y (y ) se obtiene la parábola (4px = y ^ 2 ), con el foco en ((p, 0) ) y la directriz (x = -p ) . Para (p> 0 ) esta parábola se extiende hacia la derecha, mientras que para (p <0 ) se extiende hacia la izquierda. Vea la Figura [fig: parabolap] (b) y (c).

Se deja como ejercicio mostrar que, en general, una curva de la forma (y = ax ^ 2 + bx + c ) es una parábola. Al igual que no todas las formas ovaladas son una elipse, no todas las formas "ahuecadas" o "U" son una parábola (por ejemplo, (y = x ^ 4 )). La pendiente de la parábola (4py = x ^ 2 ) es ( dydx = frac {2x} {4p} = frac {x} {2p} ), de modo que la ecuación de la recta tangente a la la parábola en un punto ((x_0, y_0) ) es:

[ begin {alineado} y ~ - ~ y_0 ~ & = ~ frac {x_0} {2p} , (x - x_0) nonumber 2p , (y-y_0) ~ & = ~ x_0x ~ - ~ x_0 ^ 2 nonumber 2py ~ - ~ 2py_0 ~ & = ~ x_0x ~ - ~ 4py_0 nonumber 2p , (y + y_0) ~ & = ~ x_0x label {eqn: parabtangenty} end {alineado } ] Del mismo modo, cambiando los roles de (x ) y (y ), la recta tangente a la parábola (4px = y ^ 2 ) en un punto ((x_0, y_0) ) es:

[ label {eqn: parabtangentx} 2p , (x + x_0) ~ = ~ y_0y ] La fórmula ([eqn: parabtangentx]) simplifica la demostración de propiedad de reflexión para parábolas: la luz brilló desde el foco a cualquier punto de la parábola se reflejará en una trayectoria paralela al eje de la parábola. La figura [fig: parabreflect] muestra la luz que emana del foco (F = (p, 0) ) y se refleja en un punto (P = (x_0, y_0) ) en la parábola (4px = y ^ 2 ). Si esa línea de reflexión es paralela al eje (x ) - el eje de la parábola - entonces la línea tangente a la parábola en ((x_0, y_0) ) debe formar el mismo ángulo ( beta ) con la línea de reflexión como lo hace con el eje (x ) -. Así que extiende la línea tangente para intersecar el eje (x ) - y usa la fórmula ([eqn: parabtangentx]) para encontrar la intersección en (x ):

[2p , (x + x_0) ~ = ~ y_0y ~ = ~ y_0 cdot 0 ~ = ~ 0 quad Rightarrow quad x ~ = ~ -x_0 ] Sea (Q = (- x_0,0) ), de modo que la distancia (FQ ) sea igual a (p + x_0 ). El objetivo es mostrar que el ángulo de incidencia ( angle FPQ ) es igual al ángulo de reflexión ( beta ). La radio focal ( overline {FP} ) tiene longitud

[FP ~ = ~ sqrt {(p-x_0) ^ 2 + (0-y_0) ^ 2} ~ = ~ sqrt {p ^ 2 - 2px_0 + x_0 ^ 2 + 4px_0} ~ = ~ sqrt {p ^ 2 + 2px_0 + x_0 ^ 2} ~ = ~ p + x_0 ~. ] Por lo tanto, (FQ = FP ) en el triángulo ( triangle FPQ ), de modo que ( angle FPQ = angle FQP = beta ), es decir, la trayectoria de la luz sí satisface el Principio de Fermat para superficies curvas. ( quad checkmark )

La propiedad de reflexión de la parábola aparece en algunas aplicaciones de ingeniería, típicamente al hacer girar parte de una parábola alrededor de su eje, produciendo una superficie parabólica en tres dimensiones llamada paraboloide. Por ejemplo, solía ser común que los faros de los vehículos usaran paraboloides para su superficie reflectante interna, con una bombilla en el foco, de modo que, por la propiedad de reflexión, la luz brillaría directamente hacia adelante en un haz sólido. Muchas linternas todavía funcionan según ese principio. La propiedad de reflexión también funciona en la dirección opuesta, por lo que las antenas parabólicas y los radiotelescopios suelen ser paraboloides anchos con un receptor de señal en el foco, para maximizar la recepción de entrante señales reflejadas.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): parabenvelope

Agrega texto aquí.

Solución

Suponga que un objeto se lanza desde el suelo con una velocidad inicial (v_0 ) y en diferentes ángulos con el suelo. Demuestre que la familia de todas las trayectorias posibles, que son parabólicas, forman una región cuyo límite (llamado sobre de las trayectorias) es en sí misma una parábola.

Solución: Recordar del ejemplo

Ejemplo ( PageIndex {1} ): minmax3

Agrega texto aquí.

Solución

en la sección 4.1 que si el objeto se lanza en un ángulo (0 < theta < frac { pi} {2} ) con el suelo, entonces la altura (y ) alcanzada por el objeto en función de la distancia horizontal (x ) que recorre está dada por

[y ~ = ~ - frac {gx ^ 2} {2v_0 ^ 2 cos ^ 2 , theta} ~ + ~ x tan , theta ~. ] La curva es una parábola, con la figura a la derecha mostrando estas trayectorias parabólicas para 500 valores del ángulo ( theta ). Claramente, cada parábola se cruza al menos con otra. La distancia horizontal máxima ( frac {v_0 ^ 2} {g} ) ocurre solo para ( theta = frac { pi} {4} ), como se muestra por ejemplo

Ejemplo ( PageIndex {1} ): minmax3

Agrega texto aquí.

Solución

. La altura vertical máxima ( frac {v_0 ^ 2} {2g} ) se alcanza cuando el objeto se lanza hacia arriba (es decir, ( theta = frac { pi} {2} )), como se muestra en el ejercicio [exer: projmax0] en la sección 5.1. Por simetría, solo es necesario considerar los ángulos (0 < theta le frac { pi} {2} ) en el mismo plano vertical. Entonces, en la figura anterior, imagina si se incluyeran las trayectorias para todos los ángulos posibles, llenando una región que parece tener un límite parabólico. Ahora se demostrará que esto es cierto.

Primero, resulta que todas las parábolas para (0 < theta < frac { pi} {2} ) tienen la misma directriz (y = frac {v_0 ^ 2} {2g} ). Para ver por qué, recuerde del ejercicio [exer: projmaxangle] en la sección 4.1 que la altura máxima alcanzada por el objeto es ( frac {v_0 ^ 2 , sin ^ 2 theta} {2g} ), que por lo tanto es la (y ) - coordenada del vértice de la parábola. Ese vértice está a medio camino entre el foco y la directriz. La parábola tiene la forma (4py = x ^ 2 + bx ), donde (b ) es una constante que no afecta la distancia entre el vértice y la directriz5, y (4p ) es una constante con (p <0 ) tal que la directriz está (- p ) unidades por encima del vértice (ya que (p <0 )), como en el caso (4py = x ^ 2 ). La ecuación de la parábola muestra entonces que

[ frac {1} {4p} ~ = ~ - frac {g} {2v_0 ^ 2 cos ^ 2 , theta} quad Rightarrow quad p ~ = ~ - frac {v_0 ^ 2 cos ^ 2 , theta} {2g} ] de modo que la directriz esté en

[ begin {alineado} y ~ & = ~ text {$ y $ -coordinada del vértice} ~ + ~ (-p) & = ~ frac {v_0 ^ 2 , sin ^ 2 theta } {2g} ~ + ~ - left (- frac {v_0 ^ 2 cos ^ 2 , theta} {2g} right) ~ = ~ frac {v_0 ^ 2} {2g} ( sin ^ 2 theta ~ + ~ cos ^ 2 , theta) y ~ & = ~ frac {v_0 ^ 2} {2g} end {alineado} ] Es quizás sorprendente que todas las trayectorias parabólicas compartan la misma directriz (y = frac {v_0 ^ 2} {2g} ), que es independiente del ángulo ( theta ). Tenga en cuenta que las alturas de cada vértice ( left ( frac {v_0 ^ 2 , sin ^ 2 theta} {2g} right) ) y el foco ( left ( frac {v_0 ^ 2} { 2g} ( sin ^ 2 theta - cos ^ 2 , theta) derecha) ) hacer depende de ( theta ). La directriz común es la clave del resto de la prueba. Ahora sea (P ) un punto en el primer cuadrante del plano (xy ) - debajo de la directriz común (y = frac {v_0 ^ 2} {2g} ), denotado por (D ). Entonces (P ) puede estar dentro, fuera o en el sobre, como en la Figura [fig: sobre3]:

El origen (O = (0,0) ) está en cada trayectoria, por lo que, por definición de una parábola, los focos para todas las trayectorias deben estar a una distancia ( frac {v_0 ^ 2} {2g} ) de (O ), es decir, la distancia de (O ) a (D ). Es decir, los focos de todas las trayectorias deben estar en el círculo (C_0 ) de radio ( frac {v_0 ^ 2} {2g} ) centrado en (O ). Si (P ) es cualquier otro punto dentro de la envolvente, de modo que se encuentre en al menos una trayectoria, entonces debe estar a una distancia (r> 0 ) por debajo de la línea (D ). Por definición de parábola, (P ) debe estar a la misma distancia de los focos de cualquier trayectoria a la que pertenezca. Es decir, los focos deben estar en un círculo (C ) de radio (r ) centrado en (P ) y tocando la directriz (D ), como en la Figura [fig: envfoci3]:

En la Figura [fig: envfoci3] (a) (C ) y (C_0 ) se intersecan en dos puntos (F_1 ) y (F_2 ), entonces (P ) pertenece a dos trayectorias; (P ) debe ser adentro la envoltura. En la Figura [fig: envfoci3] (b) (C ) y (C_0 ) no se cruzan, por lo que (P ) debe ser fuera de el sobre (ya que no está en una parábola con un enfoque en (C_0 )). Si (C ) y (C_0 ) se intersecan en un solo punto (F ), como en la Figura [fig: envfoci3] (c), entonces (P ) debe ser en la envoltura. En ese caso, (P ) es una distancia (r + frac {v_0 ^ 2} {2g} ) desde (O ), que también es la distancia desde (P ) a la línea ( y = frac {v_0 ^ 2} {g} ) (denotado por (L )). Así, por definición de parábola, (P ) está en una parábola con foco (O ) y directriz (L ). El vértice está en ( left (0, frac {v_0 ^ 2} {2g} right) ). Por lo tanto, la envolvente es una parábola: el límite de la región sombreada en la figura de la derecha. ( Quad checkmark )

Por ejemplo

Ejemplo ( PageIndex {1} ): parabenvelope

Agrega texto aquí.

Solución

todas las trayectorias estaban en el plano (xy ) - solamente. Eliminar esa restricción, de modo que las trayectorias en todos los planos verticales a través del eje (y ) - sean posibles, resultaría en un paraboloide sólido que constaría de todas las trayectorias posibles desde el origen. Las parábolas también aparecen en los puentes colgantes: los cables colgantes que sostienen un puente horizontal (mediante tirantes verticales, como en la figura de la derecha) tienen que ser parábolas si el peso del puente se distribuye uniformemente.6

[sec7dot2]

Construya una parábola usando el procedimiento que se muestra en la Figura [fig: paraboladraw].

Para los Ejercicios 2-6, dibuje la gráfica de la parábola dada e indique las ubicaciones exactas del foco, vértice y directriz. [[1.]]

5

(8y = x ^ 2 )

(y = 8x ^ 2 )

(x = y ^ 2 )

(x = -3y ^ 2 )

(- 1000y = x ^ 2 )

Encuentra los puntos de intersección de las parábolas (4py = x ^ 2 ) y (4px = y ^ 2 ) cuando (p> 0 ). ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por esos puntos?

Un faro de vehículo en forma de paraboloide tiene 3 pulgadas de profundidad y tiene un borde abierto con un diámetro de 8 pulgadas. ¿Dónde debe colocarse el centro de la bombilla para estar en el foco, medido en pulgadas con respecto al vértice?

La latus recto de una parábola es el acorde que pasa por el foco y es paralelo a la directriz. Encuentra la longitud del recto latus para la parábola (4py = x ^ 2 ).

Demuestre que el círculo cuyo diámetro es el latus recto de una parábola toca la directriz de la parábola en un punto.

Encuentra los puntos en la parábola (4px = y ^ 2 ) tales que los radios focales a esos puntos tengan la misma longitud que el latus recto.

Desde cada extremo del latus recto de una parábola traza una línea hasta el punto donde la directriz y el eje se cruzan. Demuestre que las dos líneas dibujadas son perpendiculares. [[1.]]

Demuestre que cualquier punto que no esté en una parábola está en cero o dos rectas tangentes a la parábola.

Muestre que (y = mx-2mp-m ^ 3p ) es la recta normal de pendiente (m ) a la parábola (4px = y ^ 2 ).

Desde un punto (P ) en una parábola con vértice (V ) sea ( overline {PQ} ) el segmento de recta perpendicular al eje en un punto (Q ). Demuestre que (PQ ^ 2 ) es igual al producto de (QV ) y la longitud del latus recto.

Demuestre que la curva (y = ax ^ 2 + bx + c ) es una parábola para (a ne 0 ), usando solo la definición de una parábola. Encuentra el foco, el vértice y la directriz.

Demuestre que el conjunto de todos los puntos medios de una familia de cuerdas paralelas en una parábola se encuentra en una línea paralela al eje de la parábola.


Álgebra II: gráficas de parábolas

Todas las siguientes son ecuaciones de parábolas orientadas hacia abajo EXCEPTO:

Una parábola que se abre hacia abajo tiene la fórmula general

ya que el signo negativo delante del término hace que la parábola se invierta sobre el eje horizontal.

Por el contrario, una parábola de la forma gira sobre el eje vertical, no sobre el eje horizontal.

Por tanto, no es la ecuación de una parábola que se abre hacia abajo.

Pregunta de ejemplo n. ° 1: Graficar funciones cuadráticas

El vértice de esta función parabólica estaría ubicado en:

Para cualquier parábola, la ecuación general es

, y la coordenada x de su vértice viene dada por

Para el problema dado, la coordenada x es

Para encontrar la coordenada y, conecte la ecuación original:

Por lo tanto, el vértice está en.

Pregunta de ejemplo n. ° 1: gráficas de parábolas

¿En qué dirección se abre la gráfica de la parábola descrita por la ecuación anterior?

Las parábolas pueden tener la forma

para parábolas verticales o en forma

para parábolas horizontales. Dado que la ecuación que nos da el problema tiene un término y cuadrado, pero no un término x cuadrado, sabemos que se trata de una parábola horizontal. Las reglas para una parábola horizontal son las siguientes:

  • Si, entonces la parábola horizontal se abre a la derecha.
  • Si, entonces la parábola horizontal se abre hacia la izquierda.

En este caso, el coeficiente frente al término y cuadrado será positivo, una vez que aislemos x. Eso hace que esta sea una parábola horizontal que se abre hacia la derecha.

Pregunta de ejemplo n. ° 1: gráficas de parábolas

Encuentra la forma del vértice de la siguiente ecuación cuadrática:

Factoriza 2 como MCD de los dos primeros términos que nos dan:

Ahora completamos el cuadrado sumando 4 a la expresión dentro del paréntesis y restando 8 (porque) resultando en la siguiente ecuación:

Por lo tanto, el vértice se encuentra en

Pregunta de ejemplo n. ° 1: funciones cuadráticas

Según la siguiente figura, ¿qué línea representa una función cuadrática?

Una parábola es un ejemplo de función cuadrática, independientemente de si apunta hacia arriba o hacia abajo.

La línea roja representa una función cuadrática y tendrá una fórmula similar a.

La línea azul representa una función lineal y tendrá una fórmula similar a.

La línea verde representa una función exponencial y tendrá una fórmula similar a.

La línea violeta representa una función de valor absoluto y tendrá una fórmula similar a.

Pregunta de ejemplo n. ° 8: Graficar funciones cuadráticas

¿Cuál de las siguientes parábolas está boca abajo?

Podemos determinar si una parábola está orientada hacia arriba o hacia abajo observando el coeficiente del término. Será hacia abajo si y solo si este coeficiente es negativo. Tenga cuidado con la opción de respuesta. Recuerde que esto significa que todo el valor entre paréntesis se elevará al cuadrado. Y, un negativo multiplicado por un negativo da como resultado un positivo. Por lo tanto, esto es equivalente a. Por lo tanto, nuestra respuesta debe ser.

Pregunta de ejemplo # 3321: Álgebra 1

¿Cuál es el vértice de la función? ¿Es un máximo o un mínimo?

La ecuación de una parábola se puede escribir en forma de vértice:.

El punto en este formato es el vértice. Si es un número positivo, el vértice es un mínimo, y si es un número negativo, el vértice es un máximo.

En este ejemplo, . El valor positivo significa que el vértice es mínimo.

Pregunta de ejemplo n. ° 1: gráficas de parábolas

¿Cuántas intersecciones tiene la gráfica de la función?

La gráfica de una función cuadrática tiene una intersección en cualquier punto en el que, entonces, primero, establezca la expresión cuadrática igual a 0:

El número de intersecciones de la gráfica es igual al número de ceros reales de la ecuación anterior, que se puede determinar evaluando el discriminante de la ecuación,. Establecer y evaluar:

El discriminante es negativo, por lo que la ecuación tiene dos soluciones, ninguna de las cuales es real. En consecuencia, la gráfica de la función no tiene intersecciones.

Pregunta de ejemplo n. ° 43: funciones y líneas

¿Cuál de las siguientes gráficas coincide con la función?

Comience visualizando el gráfico asociado con la función:

Los términos dentro del paréntesis asociados con la variable x al cuadrado desplazarán la parábola horizontalmente, mientras que los términos fuera del paréntesis desplazarán la parábola verticalmente. En la ecuación proporcionada, 2 está ubicado fuera del paréntesis y se resta de los términos ubicados dentro del paréntesis, por lo tanto, la parábola en el gráfico se desplazará 2 unidades hacia abajo. Un gráfico simplificado de se ve así:

Recuerde que también hay un término entre paréntesis. Entre paréntesis, 1 se resta de la variable x, por lo tanto, la parábola en el gráfico se desplazará 1 unidad hacia la derecha. Como resultado, el siguiente gráfico coincide con la función dada:

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7.2: Parábolas - Matemáticas

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Distrito Escolar Unificado de Clovis

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clovis endstream endobj 175 0 obj> stream 2016-12-15T15: 20: 44-08: 00 Microsoft® Word 2013 2016-12-15T15: 20: 44-08: 00

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Distrito Escolar Unificado de Clovis

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Distrito Escolar Unificado de Clovis

endstream endobj 180 0 obj> stream 2018-01-10T12: 39: 37-08: 00 2018-01-10T12: 39: 36-08: 00 2018-01-10T12: 39: 37-08: 00 Acrobat PDFMaker 11 para Word uuid: b9b8320d-e636-408b-a1b8-823f69bdd608 uuid: f9e46867-729e-4941-a478-94c438535dfe 2 solicitud / pdf Kim Aalto


  • if (a> 0 ): tiene un máximo punto
  • if (a Ver solución trabajada

Solución

  1. El coeficiente (x ^ 2 ) es (2 ). Dado que (2> 0 ) el vértice de esta parábola es un punto mínimo.
  2. Para encontrar las coordenadas del vértice, seguimos los dos pasos que leemos más arriba:
    • Paso 1: calculamos la (x ) - coordenada, (h ), del vértice usando la fórmula: [h = frac <-b> <2a> ] Mirando (y = 2x ^ 2 - 4x -6 ), vemos que: [a = 2, b = -4, c = -6 ] Entonces, la fórmula para la coordenada (x ) - se convierte en: [ begin h & = frac <-b> <2a> & = frac <- (- 4)> <2 times 2> & = frac <4> <4> h & = 1 final] Entonces, la (x ) - coordenada del vértice es (h = 1 ).
    • Paso 2: calculamos la coordenada (y ) - del vértice reemplazando (x ) por (1 ) dentro de (y = 2x ^ 2-4x-6 ) y calculando el valor de (y ) .


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Preguntas similares

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Considere la gráfica de la ecuación y = ax ^ 2 + bx + c, cuando a no es igual a 0. Si a se multiplica por 3, ¿cuál es la verdad de la gráfica de la parábola resultante? (A) El vértice está 3 unidades por encima del vértice del original. (B) El nuevo

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Algunas preguntas más me gustaría que alguien las revisara, por favor. 1) ¿Cuáles son el vértice, el foco y la directriz de la parábola con la ecuación dada? x ^ 2-8x-28y-124 = 0 vértice (4, -5) foco (0,7) directriz y = -12 2) escribe una ecuación de a

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una ecuación cuadrática se puede escribir en forma de vértice o en forma estándar. a veces una forma es más beneficiosa que la otra. identifique qué formulario sería más útil si necesitara realizar cada una de las tareas enumeradas a continuación y explique por qué. una.

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¿Cuál es el centro de la cónica cuya ecuación es x ^ 2 + 2y ^ 2 - 6x + 8y = 0 2? ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una hipérbola? (5 puntos) A) 3x ^ 2 + y ^ 2 + 12x - 7 = 0 B) 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 12x - 7 = 0 C) 3x ^ 2 + y + 12x - 7 =

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6. Calcula la ecuación de cada parábola que se describe a continuación. a) parábola con vértice (0,0) y el foco (0,7) b) parábola con foco (-3,0) y directriz x = 3 c) parábola con vértice (3,3) y directriz x = -1 d) parábola con foco

Determine la ecuación de una parábola con intersecciones en x + - 4 y pasando por (3,6)

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La ecuación de una parábola es 12y = (x-1) ^ 2-48. Identifica el vértice, el foco y la directriz de la parábola.

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Vértice de una parábola

El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo, también conocido como el máximo o mínimo de una parábola.

Propiedades del vértice de una parábola

  • es el valor máximo o mínimo de la parábola (ver imagen a continuación)
  • es el punto de inflexión de la parábola
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Cómo encontrar el vértice

Depende de si la ecuación está en forma de vértice o estándar

Encontrar vértice a partir de la forma estándar

La coordenada x del vértice se puede encontrar mediante la fórmula $ frac <-b> <2a> $, y para obtener el valor y del vértice, simplemente sustituya $ frac <-b> <2a> $, en la

Encontrar vértice a partir de la forma de vértice

¡Se llama 'forma de vértice' por una razón!
El vértice es solo (h, k) de la ecuación.


Preguntas de parábola

Si dos cuerdas paralelas de un círculo, que tienen un diámetro de 4 unidades, se encuentran en los lados opuestos del centro y subtienden los ángulos cos-1 (1/7) y sec-1 (7) en el centro respectivamente, entonces la distancia entre estas cuerdas , es: 1,16 / 7 2,8 / 7 3,4 / √7 4,8 / √7

e y + 3 = 3 (x + 2) = & gt 3X - y Si la recta y - 13x + 3 = 0) corta la parábola y? = x + 2 en A y B, luego encuentre el valor de PA.PB (donde P = (13,0)> Sloofline hori 30 es 15 YA

25 10. La gráfica representada por la ecuación x = sini, y = 2 costo es 1) una parte de una parábola 2) una parábola 3) una parte de la gráfica de seno 4) una parte de una hipérbola

P. 1. (a) Encuentre la ecuación para la parábola que tiene vértice en (5, -3) y eje paralelo al eje y y pasa por (9,5). (61) sol Thea del noble que

1) 8 2) 4 3) 2 22. Dos parábolas tienen el mismo enfoque. Si sus directrices son el eje xy el eje y, respectivamente, entonces la pendiente de su cuerda común es 2) 4/3 3) 3/4 1) +1 4) +2

D) 1 73. Sea S el conjunto de todos los valores posibles de th, parámetro a para el cual los puntos de intersección de las parábolas y2 = 3ax e y = + (x ++ ax + 5) son concíclicos entonces S = A) (- 0,2) B) (-2,0) C) (0,2) D) (2,00) v

El número de normales distintas que pueden ser (alb) (c) 2 tan (d) tan & quot (bla) (111 4²4 a la parábola extraída de y? ​​= 4x es: (a) 3 (b) 2 (c) 1 ( d) 4 La ecuación combinada a las tangentes

Q.4 third vertex ɼ' restricted to lie on the parabola y=1+ A variable AABC in the xy plane has its orthocentre at vertex ɻ', a fixed vertexɺ' at the origin and the 7x2 The point B starts at the point (0, 1) at time t=0 and moves upward along the yaxis at a constant Velocity of 2 cm/sec. How fast is the area of the 7 triangle increasing whent sec. 2

Through the vertex o of the parabola y2 = 4ax two chords OP & OQ are drawn and the circles on OP & OQ as diameter intersect in R. If 0, 0, & o are the angles made with the axis by the tangents at P & Q on the parabola & by OR, then cote, + cot , is equal to (A) -2 tano (B) - 2 tan (T-0) (C) (D) 2 coto

point and line is a parabo LEVEL-I 1. EQUATION OF PARABOLA, DIFFERENT FORMS A variable circle passes through the fixedpoint (2,0) and touches the y-axis. Then the locus of its centre is 1) a parabola 2) a circle 3) an ellipse 4) a hyperbola 20 and

3. (4 points) Provide a complete electron-pushing mechanism for the following reaction. Include by-products as they are formed. Cl2 H TH OCH CH3 CH,CH OH


Finding the Maximum and Minimum

It is often useful to find the maximum and/or minimum values of functions that model real-life applications. To find these important values given a quadratic function, we use the vertex. If the leading coefficient a is positive, then the parabola opens upward and there will be a minimum y-value. If the leading coefficient a is negative, then the parabola opens downward and there will be a maximum y-value.

Example 6: Determine the maximum or minimum: y = − 4 x 2 + 24 x − 35 .

Solución: Desde a = −4, we know that the parabola opens downward and there will be a maximum y-value. To find it, we first find the X-value of the vertex.

La X-value of the vertex is 3. Substitute this value into the original equation to find the corresponding y-value.

The vertex is (3, 1). Therefore, the maximum y-value is 1, which occurs when X = 3, as illustrated below:

The graph is not required to answer this question.

Example 7: Determine the maximum or minimum: y = 4 x 2 − 32 x + 62 .

Solución: Desde a = +4, the parabola opens upward and there is a minimum y-value. Begin by finding the X-value of the vertex.

Sustituir X = 4 into the original equation to find the corresponding y-value.

The vertex is (4, −2). Therefore, the minimum y-value of −2 occurs when X = 4, as illustrated below:

¡Prueba esto! Determine the maximum or minimum: y = ( x − 3 ) 2 − 9 .

Video Solution

A parabola, opening upward or downward (as opposed to sideways), defines a function and extends indefinitely to the right and left as indicated by the arrows. Therefore, the domain (the set of X-values) consists of all real numbers. However, the range (the set of y-values) is bounded by the y-value of the vertex.

Example 8: Determine the domain and range: y = x 2 − 4 x + 3 .

Solución: First, note that since a = 1 is positive, the parabola opens upward. Hence there will be a minimum y-value. To find that value, find the X-value of the vertex:

Then substitute into the equation to find the corresponding y-value.

The vertex is (2, −1). The range consists of the set of y-values greater than or equal to the minimum y-value −1.

Answer: Domain: R = (−∞, ∞) range: [−1, ∞)

Example 9: The height in feet of a projectile is given by the function h ( t ) = − 16 t 2 + 72 t , where t represents the time in seconds after launch. What is the maximum height reached by the projectile?

Solución: Here a = − 16 , and the parabola opens downward. Por lo tanto, los y-value of the vertex determines the maximum height. Begin by finding the X-value of the vertex:

The maximum height will occur in 9/4 = 2¼ seconds. Substitute this time into the function to determine the height attained.

Answer: The maximum height of the projectile is 81 feet.


8.3 The Parabola

Did you know that the Olympic torch is lit several months before the start of the games? The ceremonial method for lighting the flame is the same as in ancient times. The ceremony takes place at the Temple of Hera in Olympia, Greece, and is rooted in Greek mythology, paying tribute to Prometheus, who stole fire from Zeus to give to all humans. One of eleven acting priestesses places the torch at the focus of a parabolic mirror (see Figure 1), which focuses light rays from the sun to ignite the flame.

Parabolic mirrors (or reflectors) are able to capture energy and focus it to a single point. The advantages of this property are evidenced by the vast list of parabolic objects we use every day: satellite dishes, suspension bridges, telescopes, microphones, spotlights, and car headlights, to name a few. Parabolic reflectors are also used in alternative energy devices, such as solar cookers and water heaters, because they are inexpensive to manufacture and need little maintenance. In this section we will explore the parabola and its uses, including low-cost, energy-efficient solar designs.

Graphing Parabolas with Vertices at the Origin

In The Ellipse, we saw that an ellipse is formed when a plane cuts through a right circular cone. If the plane is parallel to the edge of the cone, an unbounded curve is formed. This curve is a parabola . See Figure 2.

Like the ellipse and hyperbola , the parabola can also be defined by a set of points in the coordinate plane. A parabola is the set of all points ( x , y ) ( x , y ) in a plane that are the same distance from a fixed line, called the directrix , and a fixed point (the focus ) not on the directrix.

In Quadratic Functions, we learned about a parabola’s vertex and axis of symmetry. Now we extend the discussion to include other key features of the parabola. See Figure 3. Notice that the axis of symmetry passes through the focus and vertex and is perpendicular to the directrix. The vertex is the midpoint between the directrix and the focus.

The line segment that passes through the focus and is parallel to the directrix is called the latus rectum . The endpoints of the latus rectum lie on the curve. By definition, the distance d d from the focus to any point P P on the parabola is equal to the distance from P P to the directrix.

To work with parabolas in the coordinate plane , we consider two cases: those with a vertex at the origin and those with a vertex at a point other than the origin. We begin with the former.

We then square both sides of the equation, expand the squared terms, and simplify by combining like terms.

Standard Forms of Parabolas with Vertex (0, 0)

Table 1 and Figure 5 summarize the standard features of parabolas with a vertex at the origin.

Eje de simetria Ecuación Enfocar Directrix Endpoints of Latus Rectum
X-eje y 2 = 4 p x y 2 = 4 p x ( p , 0 ) ( p , 0 ) x = − p x = − p ( p , ± 2 p ) ( p , ± 2 p )
y-eje x 2 = 4 p y x 2 = 4 p y ( 0 , p ) ( 0 , p ) y = − p y = − p ( ± 2 p , p ) ( ± 2 p , p )

The key features of a parabola are its vertex, axis of symmetry, focus, directrix, and latus rectum. See Figure 5. When given a standard equation for a parabola centered at the origin, we can easily identify the key features to graph the parabola.

A line is said to be tangent to a curve if it intersects the curve at exactly one point. If we sketch lines tangent to the parabola at the endpoints of the latus rectum, these lines intersect on the axis of symmetry, as shown in Figure 6.

Cómo

Given a standard form equation for a parabola centered at (0, 0), sketch the graph.


Ver el vídeo: Gráficas de las demás funciones trigonométricas - tanx con transformaciones (Octubre 2021).