Artículos

2.3E: Ejercicios - Matemáticas


Ejercicio ( PageIndex {1} )

Para los siguientes ejercicios, las funciones dadas representan la posición de una partícula que viaja a lo largo de una línea horizontal.

una. Encuentra las funciones de velocidad y aceleración.

B. Determine los intervalos de tiempo en los que el objeto se ralentiza o acelera.

1) (s (t) = 2t ^ 3−3t ^ 2−12t + 8 )

2) (s (t) = 2t ^ 3−15t ^ 2 + 36t − 10 )

Respuesta

1a. (v (t) = 6t ^ 2−30t + 36, a (t) = 12t − 30 )

B. acelera ((2,2.5) ∪ (3, ∞) ), frena ((0,2) ∪ (2.5,3) )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Se dispara un cohete verticalmente hacia arriba desde el suelo. La distancia s en pies que recorre el cohete desde el suelo después de t segundos viene dada por (s (t) = - 16t ^ 2 + 560t ).

una. Encuentra la velocidad del cohete 3 segundos después de ser disparado.

B. Encuentra la aceleración del cohete 3 segundos después de ser disparado.

Respuesta

una. (464 pies / s ^ 2 )

b. (- 32 pies / s ^ 2 )

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Se lanza una pelota hacia abajo con una velocidad de 8 pies / s desde la parte superior de un edificio de 64 pies de altura. Después de t segundos, su altura sobre el suelo viene dada por (s (t) = - 16t ^ 2−8t + 64. )

una. Determina cuánto tiempo tarda la pelota en golpear el suelo.

B. Determina la velocidad de la pelota cuando golpea el suelo.

Respuesta

Bajo construcción

Ejercicio ( PageIndex {4} )

La función de posición (s (t) = t ^ 2−3t − 4 ) representa la posición de la parte trasera de un automóvil saliendo de un camino de entrada y luego conduciendo en línea recta, donde s está en pies y t está en segundos. En este caso, (s (t) = 0 ) representa el momento en que la parte trasera del automóvil está en la puerta del garaje, por lo que (s (0) = - 4 ) es la posición de partida del automóvil, 4 pies dentro del garaje.

una. Determine la velocidad del automóvil cuando (s (t) = 0 ).

B. Determine la velocidad del automóvil cuando (s (t) = 14 ).

Respuesta

una. (5 pies / s )

B. (9 pies / s )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

7) La posición de un colibrí que vuela en línea recta en t segundos viene dada por (s (t) = 3t ^ 3−7t ) metros.

una. Determine la velocidad del pájaro en (t = 1 ) seg.

B. Determine la aceleración del pájaro en (t = 1 ) seg.

C. Determina la aceleración del ave cuando la velocidad es igual a 0.

Respuesta

Bajo construcción

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Una papa se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 100 pies / s desde una pistola de papa en la parte superior de un edificio de 85 pies de altura. La distancia en pies que recorre la papa desde el suelo después de (t ) segundos viene dada por (s (t) = - 16t ^ 2 + 100t + 85 ).

una. Encuentre la velocidad de la papa después de (0.5s ) y (5.75s ).

B. Encuentre la rapidez de la papa a 0.5 sy 5.75 s.

C. Determina cuando la papa alcanza su altura máxima.

D. Encuentre la aceleración de la papa a 0.5 sy 1.5 s.

mi. Determina cuánto tiempo está la papa en el aire.

F. Determina la velocidad de la papa al golpear el suelo.

Respuesta

una. 84 pies / s, −84 pies / s

B. 84 pies / s

C. ( frac {25} {8} s )

D. (- 32ft / s ^ 2 ) en ambos casos

mi. ( frac {1} {8} (25+ sqrt {965}) s )

F. (- 4 sqrt {965} pies / s )

Ejercicio ( PageIndex {7} )

La función de posición (s (t) = t ^ 3−8t ) da la posición en millas de un tren de carga donde el este es la dirección positiva y (t ) se mide en horas.

una. Determine la dirección en la que viaja el tren cuando (s (t) = 0 ).

B. Determine la dirección en la que viaja el tren cuando (a (t) = 0 ).

C. Determine los intervalos de tiempo en los que el tren se ralentiza o acelera.

Respuesta

Bajo construcción

Ejercicio ( PageIndex {8} )

La siguiente gráfica muestra la posición (y = s (t) ) de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta.

una. Utilice la gráfica de la función de posición para determinar los intervalos de tiempo cuando la velocidad es positiva, negativa o cero.

B. Dibuja la gráfica de la función de velocidad.

C. Utilice la gráfica de la función de velocidad para determinar los intervalos de tiempo en los que la aceleración es positiva, negativa o cero.

D. Determine los intervalos de tiempo en que el objeto acelera o desacelera.

Respuesta

una. La velocidad es positiva en ((0,1.5) ∪ (6,7) ), negativa en ((1.5,2) ∪ (5,6) ) y cero en ((2,5) )

Colaboradores

  • Gilbert Strang (MIT) y Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con muchos autores contribuyentes. Este contenido de OpenStax tiene una licencia CC-BY-SA-NC 4.0. Descárguelo gratis en http://cnx.org.


Mostrando que $ int_0 ^ 1 log ( sin pi x) dx = - log2 $

Necesito ayuda con un ejercicio de libro de texto (Análisis complejo de Stein, Capítulo 3, Ejercicios 9). Este ejercicio requiere que demuestre que $ int_0 ^ 1 log ( sin pi x) dx = - log2 $ Se da una pista como "Use el contorno que se muestra en la Figura 9".

Dado que este es un ejercicio del Capítulo 3, creo que debería usar la fórmula del residuo o algo así. Pero la función $ f (x) = log ( sin pi x) $ se vuelve singular en $ x = 0 $ y $ x = 1 $, lo que hace que el contorno sea ilegal para el teorema del residuo. ¿Alguien puede darme una pista más sobre este problema? ¡Muchas gracias de antemano!

PD Esta es mi primera vez en Math Stack Exchange. Si encuentra mi publicación ambigua, hágamelo saber.


2.3E: Ejercicios - Matemáticas

Las respuestas a los ejercicios solo se proporcionarán durante el tiempo de clase. Si no puede asistir a clase, tendrá que verme durante los horarios de consulta y trabajaremos juntos en los ejercicios. (Cuando me vea durante los horarios de consulta, espero que esté preparado. Nunca me limitaré a dar respuestas a los ejercicios. En cambio, quiero ver un esfuerzo de buena fe de su parte, en cuyo caso estaré más que feliz de ayudarlo a trabajar. a través de los ejercicios.)

  1. Demuestre que el promedio de la muestra bar es un estimador insesgado de la media poblacional.
  2. Demuestre que en el modelo lineal Y_i = mu + varepsilon_i el estimador de mínimos cuadrados ordinarios de mu es igual al promedio de la muestra. Matemáticamente, minimiza la suma de mínimos cuadrados suma_^ n (Y_i - hat < mu>) ^ 2 y demuestre que esto se obtiene configurando hat < mu> = bar.
  3. ¿Existe alguna diferencia entre un estimador y una estimación?

Usaremos esta primera sesión de práctica para familiarizarnos con Stata.

Utilizaré este ejercicio para enseñarte algunos trucos básicos que debes conocer sobre Stata. Para obtener ayuda y soporte de Stata, puedo recomendar las siguientes dos fuentes:

La Cooperativa de Computación de Ciencias Sociales de la Universidad de Wisconsin brinda un excelente apoyo para los principiantes de Stata. Consulte su sitio web "Stata para estudiantes":

Además, consulte su sitio web "Stata for Researchers":

Este sitio web debería ser su primer puerto de escala en todo lo relacionado con Stata.

Además, el Instituto de Investigación y Educación Digital de UCLA ofrece recursos fantásticos para las personas interesadas en aprender Stata:

¡No dude en utilizar estos enlaces durante el semestre para mejorar sus habilidades en Stata!

Dejar Y_i sim text( mu, sigma ^ 2). Has aprendido en la conferencia que hat < mu> _1: = bar_norte es un estimador insesgado y consistente para la media poblacional mu. ¿Los siguientes estimadores también son insesgados o consistentes para mu? ¡Discutir!

  1. hat < mu> _2: = 42 qquad (estimador 'la respuesta a todo')
  2. hat < mu> _3: = bar_n + 3 / n
  3. hat < mu> _4: = (Y_1 + Y_2 + Y_3 + Y_4 + Y_5) / 5

Extracto del sitio web de la Oficina de Estadísticas de Australia:

En una muestra de 1000 australianos seleccionados al azar, el puntaje promedio de aritmética fue de 312 y la desviación estándar de la muestra fue de 41. Construya un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional del puntaje de aritmética.

Ejercicio 3.3 partes ayb Ejercicio 3.4.

  1. Continúe trabajando en el sitio web "Stata for Researchers" (como se inició la semana pasada).
  2. Ejercicio empírico E4.2 partes ay b.

Considere el siguiente modelo lineal para alturas:

dónde Y_i es la altura de la persona I y X_ es una variable ficticia de género que toma el valor 1 si la persona I es masculino y cero en caso contrario.

  1. En ese modelo, ¿qué beta_0 ¿capturar? Que hace beta_0 + beta_1 ¿capturar?
  2. Definir y derivar (matemáticamente) los estimadores MCO de beta_0 y beta_1.

Ejercicio empírico E3.1 parte d.

El siguiente do-file de Stata es una solución a este ejercicio. Siéntase libre de usar esto como punto de partida para todos sus futuros archivos do. Simplemente cópielo y péguelo en su editor de archivos do de Stata y guárdelo como un nuevo archivo do. Como contiene la respuesta al ejercicio empírico 4.4, le di el nombre "E4_4.do", pero puede elegir el nombre que desee.

Lo importante aquí es que necesita personalizar el código a continuación en un solo lugar:

  • Directorio de trabajo: esta es la ubicación en su computadora donde accede y almacena todos sus archivos. Esto incluye los archivos de datos del libro de texto (los archivos con un sufijo dta), sus archivos do de Stata escritos por usted mismo, así como los archivos de registro que son creados por sus archivos do. Usted elige el directorio de trabajo, es probable que sea diferente en diferentes computadoras. Por ejemplo, en la computadora de escritorio de mi oficina, creé un directorio de trabajo llamado / Users / juergen / EMET2008 / Stata.

Para que el siguiente código funcione, debe mantener TODOS los archivos en el mismo directorio de trabajo. Nuevamente, esto incluye los archivos de datos de su libro de texto, así como los archivos do-files y log-files de Stata que usted crea

Derive el sesgo de las variables omitidas.

En un reciente proyecto de investigación de econometría aplicada, me interesó el efecto causal del fraude académico en los resultados del mercado laboral. La pregunta general de investigación es: ¿Las personas que cometen fraude académico (en la universidad) se benefician significativamente de él? Suena como una pregunta de investigación sencilla, pero responderla es bastante desafiante econométricamente.

Digamos que el modelo se parece a

dónde Y_i son ganancias semanales (tiempo completo), Fraud_i es una variable ficticia que es igual a uno si una persona informó que cometió fraude académico durante la universidad y cero en caso contrario. (Todas las demás variables rhs se explican por sí mismas).

Si ejecuto esta regresión y obtengo la estimación hat < beta> _1 por beta_1, ¿puedo interpretar esto como el efecto causal del fraude académico en los ingresos? ¡Discutir!

En EMET2007, usted (¡con suerte!) Ha aprendido a probar la homocedasticidad frente a la heterocedasticidad. ¿Cómo harías esto con Stata? (Utilice el conjunto de datos de crecimiento del ejercicio anterior para ilustrar la prueba). Si de hecho encuentra que los datos son heterocedásticos, ¿cómo los corregiría con Stata?

Considere el modelo lineal simple Y_i = beta_0 + beta_1 X_i + u_i.

Defina matemáticamente el estimador MCO y demuestre que es inconsistente bajo endogeneidad.

Defina matemáticamente el estimador TSLS y demuestre que es consistente bajo endogeneidad.

¿Cuál de los dos estimadores es consistente bajo exogeneidad?

Pregunta de investigación: ¿Las niñas que asisten a escuelas de niñas obtienen mejores resultados en matemáticas que las niñas que asisten a escuelas mixtas? Te doy un conjunto de datos que incluye las siguientes variables:

  • puntaje: puntuación en una prueba de matemáticas estandarizada
  • chicas: variable ficticia que es igual a 1 si una persona asistió a la escuela de niñas o cero en caso contrario
  • fecud: educación del padre
  • meduc: educación de la madre
  • hhinc: ingreso familiar
  1. Ejecuta una estimación OLS de puntaje en chicas y todas las demás variables. ¿Su estimación MCO del coeficiente en chicas captar el efecto causal de la escuela de niñas en la puntuación de matemáticas? ¿Si no, porque no?
  2. ¿Cuál sería una buena variable instrumental para chicas?

Nota: este ejercicio se basa en Wooldridge, Econometría introductoria, un enfoque moderno, 5a edición, capítulo 15.

Se pueden hacer cosas interesantes con ensayos controlados aleatorios. Aquí les expongo al trabajo de dos artículos de economía recientes publicados en una revista de primer nivel.

Leeremos y discutiremos el documento sobre los efectos del uso de la computadora en el hogar en el rendimiento académico de los niños en edad escolar (escrito por Fairlie y Robinson).

Leeremos y discutiremos el documento sobre los efectos de dejar caer escuelas en helicóptero en aldeas rurales en Afganistán (escrito por Burde y Linden).

Revisaremos el examen de mitad de período. En particular: Q1, Q2 y Q5. (Las otras dos preguntas son fáciles de responder si ha leído los artículos).

Ejercicio empírico E11.1 (libro de Stock y Watson)

Estimación de máxima verosimilitud de los coeficientes probit y logit.

  1. Defina el estimador de máxima verosimilitud.
  2. Derive el estimador de máxima verosimilitud.
  3. Analice la inferencia estadística para los coeficientes probit y logit.
  4. Analice la coherencia de los estimadores probit y logit.

Nota: A diferencia del modelo de probabilidad lineal (que es un modelo lineal que se puede estimar directamente mediante OLS), los modelos probit y logit no son lineales (¿recuerda la curva en forma de S de la conferencia?). Los modelos no lineales son considerablemente más difíciles de estimar. En esta sesión de resolución de problemas, trataré de explicarle la idea principal y las matemáticas de la estimación de máxima verosimilitud de los modelos probit y logit. Al final, la estimación deberá ser realizada por computadoras. Afortunadamente, Stata ofrece un buen conjunto de comandos para ayudar.

Ejercicio empírico E11.2 (libro de Stock y Watson)

Revisaremos brevemente la sesión de resolución de problemas de la semana pasada para resumir la estimación de ML de los modelos probit y logit.

Revise el ejercicio empírico E11.2 (libro de Stock y Watson)

Ejercicio empírico E10.1 (libro de Stock y Watson)

La regresión de la violencia debe realizarse por separado para los años 1977 y 1999. ¿Cuál es el efecto causal?

Ejecute una regresión agrupada para todos los años.

¿Puede pensar en una variable no observada que varíe según el estado pero no a lo largo del tiempo? ¿Qué tal uno que varía a lo largo del tiempo pero no por estado?

Cambie la forma de sus datos de formato largo a formato ancho. Utilice los datos remodelados para crear variables diferenciadas (entre 1999 y 1977) para lnvio y deberá.

Ejecute una regresión de las diferencias. ¿Cuál es el efecto causal? ¿Cómo se compara con el inciso a)? ¿Por qué la estimación debería ser diferente en teoría?

Durante el resto de este ejercicio, vuelva a dar forma a sus datos en formato largo. (Simplemente vuelva a cargar el conjunto de datos original).

Ejecutar un (n-1)-La estimación de regresores binarios de lnvio on debe.

Ejecute una estimación de efectos fijos de la intensidad de la luz. Hágalo de dos formas diferentes:

  1. Manera difícil: degradar las variables usted mismo y retroceder las variables degradadas entre sí.
  2. Manera perezosa: use el comando de estimación de efectos fijos incorporado de Stata.

¿En qué se diferencian los resultados del inciso f)?

Agregue las variables explicativas incarc_rate, densidad, avginc, pop, pb1064, pw1064 y pm1029 a la estimación.

Ahora también controla los efectos fijos de tiempo. Hágalo de tres formas diferentes (pero equivalentes):

  1. Entidad degradante con (T-1)-Indicadores de tiempo binario
  2. Tiempo degradante con (n-1)-indicadores de entidad binaria
  3. (T-1)-Indicadores de tiempo binario y (n-1)-indicadores de entidad binaria

Rehaga la estimación principal utilizando los logaritmos de rob y mur en lugar de vio como variables de resultado. ¿Cómo cambian tus hallazgos?

Definir y derivar el estimador de efectos fijos.

Continúe trabajando en el ejercicio empírico E10.1 (libro de Stock y Watson), consulte la semana anterior.

No hay problema para resolver esta semana.

Ejercicio empírico E15.1 (libro de Stock y Watson).

(Nota: debe importar la hoja de cálculo de Excel que contiene los datos y guardar los datos importados como un archivo dta antes de comenzar a trabajar).


Tabla de contenido

Cuadrícula de coincidencia del plan de estudios
1 álgebra
1.1: La función de módulo
1.2: División de polinomios
1.3: El teorema del resto
1.4: El teorema del factor
2 Logaritmos y funciones exponenciales
2.1: Crecimiento y decadencia exponenciales continuos
2.2: La función logarítmica
2.3: ex y logaritmos en base e
2.4: Ecuaciones y desigualdades usando logaritmos
2.5: Usar logaritmos para reducir ecuaciones a forma lineal
3 Trigonometría
3.1: Secante, cosecante y cotangente
3.2: Otras identidades trigonométricas
3.3: Fórmulas de suma
3.4: Fórmulas de doble ángulo
3.5: Expresando a sin & # 920 + b cos & # 920 en la forma R sin (& # 920 & # 177 a) o R cos (& # 920 & # 177 a)
Repaso del ejercicio A - Pure 2
Repaso del ejercicio A - Pure 3
Matemáticas en la vida real: predecir el comportamiento de las mareas
4 Diferenciación
4.1: Diferenciar la función exponencial
4.2: Diferenciar la función logarítmica natural
4.3: Productos diferenciadores
4.4: Cocientes diferenciadores
4.5: Diferenciar sen x, cos x y tan x
4.6: Diferenciación implícita
4.7: Diferenciación paramétrica
5 Integración
5.1: Integración de eax + b
5.2: Integración de 1 x + b
5.3: Integración de sin (ax + b), cos (ax + b), ec2 (ax + b)
5.4: Ampliación de la integración de funciones trigonométricas
5.5: Integración numérica mediante la regla del trapecio
6 Solución numérica de ecuaciones
6.1: Encontrar raíces aproximadas por cambio de signo o métodos gráficos
6.2: Encontrar raíces usando relaciones iterativas
6.3: Comportamiento de convergencia de funciones iterativas
Ejercicio de repaso B - Pure 2
Ejercicio de repaso B - Pure 3

Matemáticas en la vida real: naturaleza de las matemáticas
7 Álgebra adicional
7.1: Fracciones parciales
7.2: Expansiones binomiales de la forma (1 + x) n cuando n no es un entero positivo
7.3: Expansiones binomiales de la forma (a + x) n donde n no es un entero positivo
7.4: Expansiones binomiales y fracciones parciales
8 Mayor integración
8.1: Integración usando fracciones parciales
8.2: Integración de f (x) f & # 180 (x)
8.3: Integración por partes
8.4: Integración mediante sustitución
Ejercicio de repaso C - Pure 3
9 vectores
9.1: La ecuación de una línea recta
9.2: Líneas que se cruzan
9.3: El ángulo entre dos líneas rectas
9.4: La ecuación de un avión
9.5: Configuraciones de una línea y un plano
9.6: Configuraciones de dos planos
9.7: La distancia de un punto a un plano o línea.
10 ecuaciones diferenciales
10.1: Formar ecuaciones diferenciales simples (ED)
10.2: Resolver ecuaciones diferenciales de primer orden con variables separables
10.3: Encontrar soluciones particulares a ecuaciones diferenciales
10.4: Modelado con ecuaciones diferenciales
11 números complejos
11.1: Introducción de números complejos
11.2: Calcular con números complejos
11.3: Resolver ecuaciones con números complejos
11.4: Representar números complejos geométricamente
11.5: Forma polar y forma exponencial
11.6: Loci en el diagrama de Argand
Ejercicio de repaso D - Pure 3
Matemáticas en la vida real: electrizante, magnético y húmedo: cómo las matemáticas complejas simplifican la vida
Papel estilo examen A - Pure 2
Prueba de estilo de examen B - Pure 2
Papel estilo examen C - Pure 3
Papel estilo examen D - Pure 3
Respuestas
Glosario de términos
Índice


Serie de trabajos en clase y ejercicios : Probabilidad, Índices y Factorización


Esta es la medida de la probabilidad de que ocurra un resultado requerido. Es la "oportunidad" de que suceda un evento. Por ejemplo, un estudiante podría preguntarse a sí mismo mientras se prepara para un ejemplo, "¿cuál es la probabilidad de que obtenga un cien por ciento?". Esto significa que el estudiante se pregunta qué probabilidad tiene de obtener un puntaje de 100 sobre 100.

La probabilidad a menudo se representa como una fracción = número de resultados requeridos

número de posibles resultados

Para el ejemplo del estudiante mencionado anteriormente, el niño solo tiene 1 resultado requerido que es obtener una puntuación del 100%, mientras que los resultados posibles son 2, es decir, obtiene una puntuación del 100% (1) o no (1)

Entonces, la probabilidad de obtener una puntuación del 100% = & frac12

1. Cuando es seguro que ocurrirá un evento, entonces la probabilidad es 1, p. si Ade tiene 5 años este año, la probabilidad de que tenga 6 años el próximo año es 1.

2. Cuando es seguro que un evento no sucederá, la probabilidad es cero, p. si Ade tiene 5 años ahora, la probabilidad de que tenga 8 años el próximo año es 0.

Así que si pag es la probabilidad de que suceda un evento y q es la probabilidad de que un evento no suceda, entonces p + q = 1 & egrave q = 1 & ndash p. Así que si pag es la probabilidad de que ocurra un resultado deseado, entonces la probabilidad de que el resultado deseado no ocurra es 1 y ndash p.

Un dado tiene seis caras numeradas del 1 al 6. Si el dado se lanza una vez, calcule la probabilidad de

(a) obtener el número 6 (b) obtener el número 10 (c) no obtener el número 6

(d) obtener uno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6

(a) Probabilidad de obtener 6 = Número de 6 en la cara del dado = 1

Número total de figuras en el dado 6

(b) La probabilidad de obtener 10 es 0 ya que no hay un 10 en la cara del dado.

(c) Probabilidad de no obtener 6 = 1 & ndash probabilidad de obtener 6 = 1 & # 8211 1/6 = 5/6

(d) Dado que los números en la cara del dado son 1, 2, 3, 4, 5 y 6, SÓLO podemos tener uno de estos números, por lo que la probabilidad es 1.

La factorización significa escribir una expresión en términos de sus factores. Cuando se factoriza una expresión con dos o más partes, eliminamos todos los factores comunes a las partes y colocamos estos factores fuera del corchete, dejando solo los restos entre corchetes.

Ejemplo: factorizar lo siguiente

I. 3abx + 5adx = ax (3b + 5d) Razón: a & amp d son comunes

ii. 3d 2 e & ndash 8d 2 = d 2 (3e & # 8211 8): d 2 es común

iii. -18fg & ndash 12g = -6g (3f + 2): -6g es común

Un índice (plural y ndash índices) es una forma corta de escribir poderes de un número. Ejemplo 5 3 = 5x5x5

El uso de índices se rige por algunas leyes sencillas que se indican a continuación.

Ejemplo: 4 1 x 4 3 = 4 1 + 3 = 4 4

Ejemplo: 4 3 y dividir 4 3 = 4 1 + 3 = 4 4

EJEMPLOS : Simplifica lo siguiente

una. 10 4 x 10 5 = 10 4 + 5 = 10 9

C. A -2 y dividir B 0 = 1 / A 2 y dividir 1 = 1 / A 2

Guía: 10 2 x 10 5 = 10 2 + 5 = 10 7

  1. Se elige una carta al azar de un paquete de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un 6? (a) 1/52 (b) 1/13 (c) 3/26 (d) y frac14

Guía: En un paquete de naipes, hay 4 de cada número, por lo tanto


2.3E: Ejercicios - Matemáticas

Un lugar para guardar notas rápidas sobre matemáticas que sigo olvidando. Esto está destinado a ser un borrador y una hoja de trucos para que pueda escribir notas de matemáticas antes de que las olvide o las mueva a otro lugar. Puede contener y contendrá errores y / o descripción incompleta en varios lugares. Úselo bajo su propio riesgo.

1 notas generales

( blacksquare ) La función de Lyapunov se usa para determinar la estabilidad de un punto de equilibrio. Tomando este punto de equilibrio como cero, y alguien nos da un conjunto de ecuaciones diferenciales ( begin x ^ < prime> left (t right) y ^ < prime> left (t right) z ^ < prime> left (t right) end = comenzar f_ <1> left (x, y, z, t right) f_ <2> left (x, y, z, t right) f_ <2> left (x, y, z , t right) end ) y asumiendo que ( left (0,0,0 right) ) es un punto de equilibrio. La pregunta es, ¿cómo determinar si es estable o no? Hay dos formas principales de hacer esto. Uno por linealización del sistema alrededor del origen. Esto significa que encontramos la matriz jacobiana, la evaluamos en el origen y verificamos el signo de las partes reales de los valores propios. Esta es la forma habitual de hacer esto. Otro método, llamado Lyapunov, es más directo. No se necesita linealización. Pero debemos hacer lo siguiente. Necesitamos encontrar una función (V left (x, y, z right) ) que se llama función de Lyapunov para el sistema que cumple las siguientes condiciones

  1. (V left (x.y, z right) ) es una función continuamente diferenciable en ( mathbb ^ <3> ) y (V left (xy, z right) geq 0 ) (de fi nito positivo o semide fi nito positivo) para todo (x, y, z ) lejos del origen, o en cualquier lugar dentro alguna región fija alrededor del origen. Esta función representa la energía total del sistema (para sistemas hamiltonianos). Por lo tanto, (V left (x, y, z right) ) puede ser cero desde el origen. Pero nunca podría ser negativo.
  2. (V left (0,0,0 right) = 0 ). Esto dice que el sistema no tiene energía cuando está en el punto de equilibrio. (estado de reposo).
  3. La derivada orbital ( frac
    leq 0 ) (es decir, de fi nido negativo o semidefinito negativo) para todo (x, y, z ), o dentro de alguna región fija alrededor del origen. La derivada orbital es la misma que ( frac
    ) a lo largo de cualquier trayectoria de solución. Esta condición dice que la energía total es constante en el tiempo (el caso cero) o la energía total disminuye en el tiempo (el caso definido negativo). Ambos indican que el origen es un punto de equilibrio estable.

Si ( frac

) es semidefinito negativo, entonces el origen es estable en el sentido de Lyapunov. Si ( frac
) es de fi nido negativo, entonces el origen es un equilibrio asintóticamente estable. Semidefinito negativo significa que el sistema, cuando se perturba lejos del origen, una trayectoria permanecerá alrededor del origen ya que su energía no aumenta ni disminuye. Entonces es estable. Pero el equilibrio asintóticamente estable es una estabilidad más fuerte. Significa que cuando se perturba desde el origen, la solución eventualmente regresará al origen ya que la energía está disminuyendo. La estabilidad global significa ( frac
leq 0 ) en todas partes, y no solo en alguna región cerrada alrededor del origen. La estabilidad local significa ( frac
leq 0 ) en alguna región cerrada alrededor del origen. La estabilidad global es una estabilidad más fuerte que la estabilidad local.

La principal dificultad con este método es encontrar (V left (x.y, z right) ). Si el sistema es hamiltoniano, entonces (V ) es lo mismo que la energía total. De lo contrario, uno adivinará. Por lo general, se usa una función cuadrática como (V = ax ^ <2> + cxy + dy ^ <2> ) (para el sistema en (x, y )) luego intentamos encontrar (a, c, d ) lo que lo hace de fi nido positivo en todas partes fuera del origen y, lo que es más importante, hace que ( frac

leq 0 ). Si es así, decimos que el origen es estable. La mayoría de los problemas que tuvimos comienzan dándonos (V ) y luego nos pide mostrar que es la función de Lyapunov y qué tipo de estabilidad es.

Para determinar si (V ) es de fi nido positivo o no, la forma común es encontrar el hessiano y comprobar el signo de los valores propios. Otra forma es buscar la arpillera y comprobar el signo de los menores. Para la matriz (2 times 2 ), esto significa que el determinante es positivo y la entrada ( left (1,1 right) ) en la matriz es positiva. Algo similar para verificar si ( frac

leq 0 ). Encontramos el hessiano de ( frac
) y hacer lo mismo. Pero ahora buscamos valores propios negativos.

( blacksquare ) Los métodos para encontrar la función verde son

  1. Teoría de Fredholm
  2. métodos de imágenes
  3. separación de variables
  4. Transformada de Laplace

referencia a Wikipedia Necesito hacer un ejemplo y aplicar cada uno de los métodos anteriores en él.

( blacksquare ) Al resolver una EDO con coeficiente constante, simplemente use la ecuación característica para resolver la solución.

( blacksquare ) Al resolver una EDO con coeficientes que son funciones que dependen de la variable independiente, como en (y ^ < prime prime> left (x right) + q left (x right) y ^ < prime> left (x right) + p left (x right) y left (x right) = 0 ), primero clasifique el tipo de punto (x_ <0> ). Esto significa comprobar cómo se comportan (p left (x right) ) y (q left (x right) ) en (x_ <0> ). Estamos hablando de la EDO aquí, todavía no de la solución.

Hay tres tipos de puntos. (x_ <0> ) puede ser un punto singular normal o regular o un punto singular irregular. El punto normal (x_ <0> ) significa (p left (x right) ) y (q left (x right) ) tienen una expansión de la serie de Taylor (y left (x right) = sum _^ < infty> a_ left (x-x_ <0> right) ^) que converge a (y left (x right) ) en (x_ <0> ).
El punto singular regular (x_ <0> ) significa que la prueba anterior falla, pero ( lim _> left (x-x_ <0> right) q left (x right) ) tiene una serie de Taylor convergente, y también que ( lim _> left (x-x_ <0> right) ^ <2> p left (x right) ) ahora tiene una serie de Taylor convergente en (x_ <0> ). Esto también significa que existe el límite.

Todo esto solo significa que podemos deshacernos de la singularidad. es decir, (x_ <0> ) es una singularidad removible. Si este es el caso, entonces se puede suponer que la solución en (x_ <0> ) tiene una serie de Frobenius (y left (x right) = sum _^ < infty> a_ left (x-x_ <0> right) ^) donde (a_ <0> neq 0 ) y ( alpha ) deben ser valores enteros.

El tercer tipo de punto es el difícil. Llamado punto singular irregular. No podemos deshacernos de él usando lo anterior. Entonces también decimos que la EDO tiene una singularidad esencial en (x_ <0> ) (otro nombre elegante para el punto singular irregular). Lo que esto significa es que no podemos aproximar la solución en (x_ <0> ) usando las series de Taylor o Frobenius.

Si el punto es un punto singular irregular, utilice los métodos de asintótico. Consulte el capítulo 3 sobre métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros. Para un punto normal, use (y left (x right) = sum _^ < infty> a_x ^), para el punto singular regular use (y left (x right) = sum _^ < infty> a_x ^). Recuerde, primero resuelva para (r ). Esto debería dar dos valores. Si obtiene una raíz, utilice la reducción de orden para encontrar la segunda solución.

( blacksquare ) Serie asintótica (S left (z right) = c_ <0> + frac >+ frac >> + cdots ) ​​es la expansión en serie de (f left (z right) ) que da una buena y rápida aproximación para (z ) grande siempre que sepamos cuándo truncar (S left (z right) ) antes de que se vuelva divergente. Ésta es la diferencia principal: expansión de la serie asintótica y expansión de la serie de Taylor.

(S left (z right) ) se usa para aproximar una función para (z ) grande, mientras que Taylor (o serie de potencias) se usa para aproximación local o para una pequeña distancia desde el punto de expansión. (S left (z right) ) se volverá divergente, por lo tanto necesita ser truncado en algún (n ) para usar, donde (n ) es el número de términos en (S_ izquierda (z derecha) ). Está truncado de forma óptima cuando (n approx left vert z right vert ^ <2> ).

(S left (x right) ) tiene las siguientes dos propiedades importantes

  1. ( lim _ < left vert z right vert rightarrow infty> z ^ izquierda (f izquierda (z derecha) -S_ left (z right) right) = 0 ) para (n ) fijo.
  2. ( lim _z ^ izquierda (f izquierda (z derecha) -S_ left (z right) right) = infty ) para (z ) fijo.

Escribimos (S left (z right) sim f left (z right) ) cuando (S left (z right) ) es la expansión de la serie asintótica de (f left (z right) ) para grandes (z ). El método más común para encontrar (S left (z right) ) es mediante la integración por partes. Al menos esto es lo que hicimos en la clase que tomé.

( blacksquare ) Para la serie de Taylor, el comportamiento principal (a_ <0> ) no es un factor de control? Para la serie de Frobenius, el término de comportamiento principal es (a_ <0> x ^ < alpha> ) y el factor de control es (x ^ < alpha> ). Para series asintóticas, se supone que el factor de control es (e ^) siempre. propuesto por Carlini (1817)

( blacksquare ) El método para encontrar el comportamiento principal de la solución (y left (x right) ) cerca del punto singular irregular usando asintótica se llama método de equilibrio dominante.

( blacksquare ) Al resolver ( epsilon y ^ < prime prime> + p left (x right) y ^ < prime> + q left (x right) y = 0 ) para muy pequeño ( epsilon ) entonces use el método WKB, si no hay una capa límite entre las condiciones límite. Si la EDO no es lineal, no puede usar WKB, tiene que usar la capa límite (B.L.). Ejemplo ( epsilon y ^ < prime prime> + yy ^ < prime> -y = 0 ) con (y left (0 right) = 0, y left (1 right) = - 2 ) luego use BL.

( blacksquare ) un buen ejercicio es resolver digamos ( epsilon y ^ < prime prime> + (1 + x) y ^ < prime> + y = 0 ) con (y left (0 right) = y left (1 right) ) usando ambos BL y WKB y comparar las soluciones, deberían resultar iguales. (y sim frac <2> <1 + x> - exp left ( frac <-x> < epsilon> - frac > <2 epsilon> right) + O left ( epsilon right). ) Con BL tuvo que hacer la correspondencia entre las soluciones externa e interna. WKB es más fácil. Pero no se puede usar para EDO no lineal.

( blacksquare ) Cuando hay una oscilación rápida en todo el dominio, WKB es mejor. Utilice WKB para resolver la ecuación de Schrodinger donde ( epsilon ) se convierte en función de ( hslash ) (constante de Planck, (6.62606957 times 10 ^ <-34> ) m (^ <2> ) kg / s)

( blacksquare ) En EDO de segundo orden con coeficiente no constante, (y ^ < prime prime> left (x right) + p left (x right) y ^ < prime> left ( x right) + q left (x right) y left (x right) = 0 ), si conocemos una solución (y_ <1> left (x right) ), entonces un método llamada reducción de orden se puede usar para encontrar la segunda solución (y_ <2> left (x right) ). Escriba (y_ <2> left (x right) = u left (x right) y_ <1> left (x right) ), conecte esto en la EDO y resuelva para (u izquierda (x derecha) ). La solución final será (y left (x right) = c_ <1> y_ <1> left (x right) + c_ <2> y_ <2> left (x right) ). Ahora aplique CI para encontrar (c_ <1>, c_ <2> ).

( blacksquare ) Para encontrar una solución particular a (y ^ < prime prime> left (x right) + p left (x right) y ^ < prime> left (x right) + q left (x right) y left (x right) = f left (x right) ), podemos usar un método llamado coeficientes indeterminados. Pero un método mejor se llama variación de parámetros. En este método, suponga (y_

left (x right) = u_ <1> left (x right) y_ <1> left (x right) + u_ <2> left (x right) y_ <2> left (x right) ) donde (y_ <1> left (x right), y_ <2> left (x right) ) son las dos soluciones linealmente independientes de la EDO homogénea y (u_ <1> left (x right), u_ <2> left (x right) ) están por determinar. Esto termina con (u_ <1> left (x right) = - int frac left (x right) f left (x right)>dx ) y (u_ <2> left (x right) = int frac left (x right) f left (x right)>dx ). Recuerde poner primero la EDO en forma estándar, entonces (a = 1 ), es decir, (ay ^ < prime prime> left (x right) + cdots ). Aquí, (W ) es el Wronskiano (W = begin y_ <1> left (x right) & amp y_ <2> left (x right) y_ <1> ^ < prime> left (x right) & amp y_ <2> ^ < prime > left (x right) end )

( blacksquare ) Dos soluciones de (y ^ < prime prime> left (x right) + p left (x right) y ^ < prime> left (x right) + q left (x right) y left (x right) = 0 ) son linealmente independientes si (W left (x right) neq 0 ), donde (W ) es el Wronskiano.

( blacksquare ) Para la EDO lineal de segundo orden definida sobre toda la línea real, el wronskiano es siempre cero o no cero. Esto proviene de la fórmula de Abel para Wronskian, que es (W left (x right) = k exp left (- int frac dx right) ) para EDO de la forma (A left (x right) y ^ < prime prime> + B left (x right) y ^ < prime> + C left (x derecha) y = 0 ). Dado que ( exp left (- int frac dx right) & gt0 ), entonces se decide por (k ). La constante de integración. Si (k = 0 ), entonces (W left (x right) = 0 ) en todas partes, de lo contrario no es cero en todas partes.

( blacksquare ) Para PDE lineal, si las condiciones de contorno dependen del tiempo, no se puede utilizar la separación de variables.Pruebe el método Transform (Laplace o Fourier) para resolver el PDE.

( blacksquare ) Si no puede invertir Laplace analíticamente, pruebe la inversión numérica o métodos asintóticos. Necesito encontrar un ejemplo de esto.

( blacksquare ) La función verde toma la solución homogénea y la función forzadora y construye una solución particular. Para los PDE, siempre queremos una función de Green simétrica.

( blacksquare ) Para obtener una función de Green simétrica dada una EDO, comience primero por convertir la EDO a una forma de Sturm-Liouville. De esta forma, la función de Green resulta simétrica.

( blacksquare ) Para soluciones numéricas de problemas de campo, hay básicamente dos problemas diferentes: aquellos con límites cerrados y aquellos con límites abiertos pero con condiciones iniciales. Los límites cerrados son problemas elípticos que se pueden formular en la forma (Au = f ), y los otros son hiperbólicos o parabólicos.

( blacksquare ) Para la solución numérica de problemas elípticos, el diseño básico es algo como esto:

Siempre comience con la solución de prueba (u (x) ) tal que (u_(x) = sum _^C_ phi _(x) ) donde (C_) son las incógnitas por determinar y las ( phi _) son un conjunto de funciones linealmente independientes (polinomios) en (x ).

Cómo determinar esos (C_) viene a continuación. Utilice el método residual (Galerkin) o métodos variacionales (Ritz). Para residual, hacemos una función basada en el error (R = A-u_F). Todo se reduce a resolver ( int f (R) = 0 ) sobre el dominio. Esto es una foto

( blacksquare ) Distribución de probabilidad geométrica. Úselo cuando desee una respuesta a la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que hacer el experimento (N ) veces para obtener finalmente el resultado que está buscando, dado que una probabilidad de (p ) aparece al hacer un experimento.

Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que uno tenga que lanzar una moneda justa (N ) veces para sacar cara? La respuesta es (P (X = N) = (1-p) ^pag). Entonces, para una moneda justa, (p = frac <1> <2> ) que una cara saldrá de una sola vez. Entonces, la probabilidad que tenemos de lanzar una moneda (10 ​​) veces para obtener una cara es (P (X = 10) = (1-0.5) ^ <9> (0.5) = 0.00097 ) que es muy baja como esperado.

( blacksquare ) Para generar una variable aleatoria extraída de alguna distribución diferente de la distribución uniforme, usando solo la distribución uniforme (U (0,1) ) haga esto: Digamos que queremos generar un número aleatorio a partir de una distribución exponencial con media ( mu ).

Esta distribución tiene (pdf (X) = frac <1> < mu> e ^ < frac <-x> < mu >> ), el primer paso es encontrar la CDF de distribución exponencial, que es conocido por ser (F (x) = P (X & lt = x) = 1-e ^ < frac <-x> < mu >> ).

Ahora encuentre el inverso de esto, que es (F ^ <-1> (x) = - mu ln (1-x) ). Luego genere un número aleatorio a partir de la distribución uniforme (U (0,1) ). Deje que este valor se llame (z ).

Ahora inserte este valor en (F ^ <-1> (z) ), esto da un número aleatorio de la distribución exponencial, que será (- mu ln (1-z) ) (tome el valor natural logaritmo de ambos lados de (F (x) )).

Este método se puede utilizar para generar variables aleatorias a partir de cualquier otra distribución conociendo (U (0,1) ). Pero requiere conocer el CDF y la inversa del CDF para la otra distribución. A esto se le llama método CDF inverso. Otro método se llama método de rechazo.

( blacksquare ) Dado (u ), una r.v. a partir de una distribución uniforme sobre [0,1], luego para obtener (v ), una r.v. a partir de una distribución uniforme sobre [A, B], entonces la relación es (v = A + (B-A) u ).

( blacksquare ) Al resolver usando F.E.M. Es mejor hacer todo usando elementos isoparamétricos (coordenadas naturales), luego encontrar el jacobiano de transformación entre las coordenadas naturales y físicas para evaluar las integrales necesarias. Para la función de fuerza, usando el método de cuadratura gaussiana.

( blacksquare ) Una solución a una ecuación diferencial es una función que se puede expresar como una serie convergente. (Cauchy. Briot y Bouquet, Picard)

( blacksquare ) Para resolver una EDO de primer orden usando un factor de integración. [x ^ < prime> (t) + p (t) x (t) = f (t) ] entonces siempre que sea lineal y (p (t), f (t) ) sean integrables funciones en (t ), luego siga estos pasos

  1. multiplique la EDO por la función (I (t) ), esto se llama factor de integración. [Yo (t) x ^ < prime> (t) + Yo (t) p (t) x (t) = Yo (t) f (t) ]
  2. Resolvemos (I (t) ) de modo que el lado izquierdo satisfaga [ frac
    left (I (t) x (t) right) = I (t) x ^ < prime> (t) + I (t) p (t) x (t) ]
  3. Resolviendo lo anterior para (I (t) ) da begin Yo ^ < prime> (t) x (t) + I (t) x ^ < prime> (t) & amp = I (t) x ^ < prime> (t) + I (t) p (t ) x (t) I ^ < prime> (t) x (t) & amp = I (t) p (t) x (t) I ^ < prime> (t) & amp = I (t ) p (t) frac & amp = p (t) dt end

Integrar ambos lados da begin ln (I) & amp = int I (t) & amp = e ^ < int > end

Donde (I (t) ) viene dado por (2). Por lo tanto, [x (t) = frac < int > f (t) , dt> + C>>> ] ( blacksquare ) Un polinomio se llama mal condicionado si hacemos un pequeño cambio en uno de sus coeficientes y esto causa un gran cambio en una de sus raíces.

( blacksquare ) Para encontrar el rango de la matriz (A ) a mano, encuentre la forma escalonada de filas, luego cuente cuántas filas cero hay. reste eso del número de filas, es decir, (n ).

( blacksquare ) Para encontrar la base del espacio de columna de (A ), encuentre la forma escalonada de fila y elija las columnas con los pivotes, ahí está la base (las columnas linealmente independientes de (A )) .

( blacksquare ) Para una matriz simétrica (A ), su segunda norma es su radio espectral ( rho (A) ) que es el valor propio más grande de (A ) (en términos absolutos).

( blacksquare ) Los valores propios de la inversa de la matriz (A ) es la inversa de los valores propios de (A ).

( blacksquare ) Si la matriz (A ) es de orden (n veces n ), y tiene (n ) valores propios distintos, entonces se puede diagonalizar (A = V Lambda V ^ < -1> ), donde [ Lambda = begin e ^ < lambda _ <1>> & amp 0 & amp 0 0 & amp ddots & amp 0 0 & amp 0 & amp e ^ < lambda n> end ] y (V ) es una matriz que tiene los vectores propios (n ) como sus columnas.

( blacksquare ) ( lim _En t _>^> f_ izquierda (x derecha) dx = int _>^> lim _F_ left (x right) dx ) solo si (f_ left (x right) ) converge uniformemente sobre ( left [x_ <1>, x_ <2> right] ).

( blacksquare ) (A ^ <3> = I ), tiene un número infinito de (A ) soluciones. Piense en (A ^ <3> ) como 3 rotaciones, cada una de (120 ^ <0> ), volviendo al punto de partida. Cada rotación alrededor de una línea recta. Por tanto, un número infinito de soluciones.

( blacksquare ) Cómo integrar (I = int frac < sqrt -1>>, dx ).

Deje (u = x ^ <3> +1 ), luego (du = 3x ^ <2> dx ) y lo anterior se convierte en [I = int frac < sqrt > <3x ^ <3>> , du = frac <1> <3> int frac < sqrt >, du ] Ahora vamos a (u = tan ^ <2> v ) o ( sqrt = tan v ), por lo tanto ( frac <1> <2> frac <1> < sqrt > du = sec ^ <2> v , dv ) y lo anterior se convierte en begin I & amp = frac <1> <3> int frac < sqrt > < tan ^ <2> v-1> left (2 sqrt sec ^ <2> v right) , dv & amp = frac <2> <3> int frac < tan ^ <2> v-1> sec ^ <2> v , dv & amp = frac <2> <3> int frac < tan ^ <2> v> < tan ^ <2> v-1> sec ^ <2> v , dv end

Pero ( tan ^ <2> v-1 = sec ^ <2> v ) por lo tanto begin I & amp = frac <2> <3> int tan ^ <2> v , dv & amp = frac <2> <3> left ( tan v-v right) end

Reemplazando [I = frac <2> <3> left ( sqrt - arctan left ( sqrt right) right) ] Sustituyendo [I = frac <2> <3> left ( sqrt +1> - arctan left ( sqrt +1> derecha) derecha) ]

( blacksquare ) (agregado el 4 de noviembre de 2015) Hice un diagrama pequeño para ayudarme a recordar los términos de división largos usados.

( blacksquare ) Si una EDO lineal es equidimensional, como en (a_x ^y ^ <(n)> + a_x ^y ^ <(n01)> + dots ) ​​por ejemplo (x ^ <2> y ^ < prime prime> -2y = 0 ) luego use ansatz (y = x ^) esto dará la ecuación en (r ) solamente. Resuelva para (r ) y obtenga (y_ <1> = x ^>, y_ <2> = x ^> ) y la solución será [y = c_ <1> y_ <1> + c_ <2> y_ <2> ] Por ejemplo, para la oda anterior, la solución es (c_ <1> x ^ <2> + frac >). Este ansatz solo funciona si ODE es equidimensional. Entonces, no puedo usarlo en (xy ^ < prime prime> + y = 0 ) por ejemplo.

Si (r ) es raíz múltiple, use (x ^, x ^ log (x), x ^( log (x)) ^ <2> dots ) ​​como soluciones.

( blacksquare ) para (x ^), donde (i = sqrt <-1> ), escríbalo como (x = e ^ < log > ) por lo tanto (x ^= e ^> = cos ( log ) + i , sin ( log ))

( blacksquare ) Algunos trucos integrales: ( int sqrt -x ^ <2>> dx ) usa (x = a sin theta ). Para ( int sqrt + x ^ <2>> dx ) use (x = a tan theta ) y para ( int sqrt -a ^ <2>> dx ) usa (x = a sec theta ).

( blacksquare ) (y ^ < prime prime> + x ^y = 0 ) se llama forma Emden-Fowler.

( blacksquare ) Para EDO de segundo orden, problema de valor de frontera, con valor propio (Sturm-Liouville), recuerde que tener dos condiciones de frontera no es suficiente para resolverlo por completo.

Se usa una condición de frontera para encontrar la primera constante de integración, y la segunda condición de frontera se usa para encontrar los valores propios.

Todavía necesitamos otra entrada para encontrar la segunda constante de integración. Esto se hace normalmente dando el valor inicial. Este problema ocurre como parte del valor inicial, problema de valor límite. El punto es que, con el valor límite y el valor propio también presentes, necesitamos 3 entradas para resolverlo por completo. Dos condiciones de contorno no son suficientes.

( blacksquare ) Si se le da la EDO (y ^ < prime prime> left (x right) + p left (x right) y ^ < prime> left (x right) + q left (x right) y left (x right) = 0 ) y se nos pide que clasifiquemos si es singular en (x = infty ), entonces sea (x = frac <1>) y compruebe lo que sucede en (t = 0 ). El ( frac >> ) el operador se convierte en ( left (2t ^ <3> frac

+ t ^ <4> frac >> right) ) y ( frac ) el operador se convierte en (- t ^ <2> frac
). Y escriba la oda ahora donde (t ) es la variable independiente, y siga los procedimientos operativos estándar. es decir, mira ( lim _xp left (t right) ) y ( lim _x ^ <2> q left (t right) ) y vea si son finitos o no. Para ver cómo se asignan los operadores, siempre comience con (x = frac <1>) luego escribe ( frac = frac
frac
) y escribe ( frac >> = izquierda ( frac derecha) izquierda ( frac derecho ) ). Por ejemplo, ( frac = -t ^ <2> frac
) y begin frac >> & amp = left (-t ^ <2> frac
right) left (-t ^ <2> frac
right) & amp = -t ^ <2> left (-2t frac
-t ^ <2> frac >> right) & amp = left (2t ^ <3> frac
+ t ^ <4> frac >> derecha) end

Entonces la nueva EDO se convierte en begin left (2t ^ <3> frac

+ t ^ <4> frac >> derecha) y izquierda (t derecha) + p izquierda (t derecha) izquierda (-t ^ <2> frac
y left (t right) right) + q left (t right) y left (t right) & amp = 0 t ^ <4> frac >> y + left (-t ^ <2> p left (t right) + 2t ^ <3> right) frac
y + q left (t right) y & amp = 0 frac >> y + frac < left (-p left (t right) + 2t right)>> frac
y + frac > y & amp = 0 end

Lo anterior es cómo se convertirá siempre la EDO después de la transformación. Recuerda cambiar (p left (x right) ) a (p left (t right) ) usando (x = frac <1>) y lo mismo para (q left (x right) ). Ahora el nuevo (p ) es ( frac < left (-p left (t right) + 2t right)>> ) y el nuevo (q ) es ( frac > ). Entonces haz ( lim _t frac < left (p left (t right) + 2t ^ <3> right)>> ) y ( lim _t ^ <2> frac > ) como antes.

( blacksquare ) Si la EDO (a left (x right) y ^ < prime prime> + b left (x right) y ^ < prime> + c left (x right ) y = 0 ), y diga (0 leq x leq 1 ), y hay una singularidad esencial en cada extremo, luego use la capa límite o WKB. Pero el método de la capa límite funciona en EDO no lineales (y también en EDO lineal) y solo si la capa límite está al final del dominio, es decir, en (x = 0 ) o (x = 1 ).

El método WKB, por otro lado, funciona solo en ODE lineal, pero la singularidad puede estar en cualquier lugar (es decir, dentro del dominio). Como regla general, si la EDO es lineal, use WKB. Si la EDO no es lineal, debemos usar la capa límite.

Otra diferencia es que con la capa límite, necesitamos hacer una fase de coincidencia en la interfaz entre la capa límite y la capa externa para encontrar las constantes de integraciones. Esto puede ser complicado y es la parte más difícil de resolver usando la capa límite.

Usando WKB, no se necesita ninguna fase de coincidencia. Aplicamos las condiciones de contorno a toda la solución obtenida. Consulte mis HW para NE 548 para ver los problemas resueltos del libro de texto de Bender y Orszag.

( blacksquare ) En numérico, para encontrar si un esquema convergerá, verifique que sea estable y también verifique que sea consistente.

También podría ser condicionalmente estable, incondicionalmente estable o inestable.

Para comprobar que es coherente, es lo mismo que encontrar el LTE (error de truncamiento local) y comprobar que a medida que el paso de tiempo y el paso de espacio van a cero, el LTE va a cero. ¿Qué es LTE? Toma el esquema y conecta la solución real en él. Un ejemplo es mejor para explicar esta parte. Resolvamos (u_= u_). Usando el avance en el tiempo y la diferencia centrada en el espacio, el esquema numérico (explícito) es
[U_^= U_^+ frac > izquierda (U_^-2U_^+ U_^ right) ] El LTE es la diferencia entre estos dos (error) [LTE = U_^- izquierda (U_^+ frac > izquierda (U_^-2U_^+ U_^ right) right) ] Ahora conecta (u left (t ^,X_ right) ) en lugar de (U_^) y (u left (t ^+ k, x_ right) ) en lugar de (U_^) y el complemento (u left (t ^, x + h right) ) en lugar de (U_^) y el complemento (u left (t ^, x-h right) ) en lugar de (U_^) en lo anterior. Se convierte en begin LTE = u left (t + k, x_ right) - left (u left (t ^,X_ derecha) + frac > left (u left (t, x-h right) -2u left (t ^,X_ right) + u left (t, x + h right) right) right) etiqueta <1> end Donde en lo anterior (k ) es el paso de tiempo (también escrito como ( Delta t )) y (h ) es el tamaño del paso de espacio. Ahora viene el truco principal. Expandiendo el término (u left (t ^+ k, x_ right) ) en Taylor, begin u left (t ^+ k, x_ right) = u left (t ^,X_ derecha) + k izquierda. frac < u parcial> < t parcial> derecha vert _<>> + frac > <2> izquierda. frac < parcial ^ <2> u> < parcial t ^ <2>> derecha vert _<>> + O left (k ^ <3> right) tag <2> end Y expandiendo comenzar u left (t ^,X_+ h right) = u left (t ^,X_ derecha) + h izquierda. frac < u parcial> < x parcial> derecha vert _<>> + frac > <2> izquierda. frac < parcial ^ <2> u> < parcial x ^ <2>> derecha vert _<>> + O left (h ^ <3> right) tag <3> end Y expandiendo comenzar u left (t ^,X_-h right) = u left (t ^,X_ derecha) -h izquierda. frac < u parcial> < x parcial> derecha vert _<>> + frac > <2> izquierda. frac < parcial ^ <2> u> < parcial x ^ <2>> derecha vert _<>> -O left (h ^ <3> right) tag <4> end Ahora conecte (2,3,4) de nuevo a (1). Simplificando, muchas cosas se eliminan, y deberíamos obtener que [LTE = O (k) + O left (h ^ <2> right) ] Lo que dice que (LTE rightarrow 0 ) como (h rightarrow 0, k rightarrow 0 ). Por tanto, es coherente.

Para comprobar que es estable, utilice el método de Von Neumann para la estabilidad. Esto verifica si la solución en el siguiente paso de tiempo no se vuelve más grande que la solución en el paso de tiempo actual. Puede haber una condición para esto. Como es estable si (k leq frac > <2> ). Esto dice que usando este esquema, será estable siempre que el paso de tiempo sea menor que ( frac > <2> ). Esto hace que el paso de tiempo sea mucho más pequeño que el paso de espacio.

( blacksquare ) Para (ax ^ <2> + bx + c = 0 ), con raíces ( alpha, beta ) entonces la relación entre raíces y coeficientes es begin alpha + beta & amp = - frac alpha beta & amp = frac final

( blacksquare ) Reglas de Leibniz para la integración begin frac En t _^f left (t right) dt & amp = f left (b left (x right) right) b ^ < prime> left (x right) -f left (a left (x derecha) derecha) a ^ < prime> left (x right) frac En t _^f left (t, x right) dt & amp = f left (b left (x right) right) b ^ < prime> left (x right) -f left (a left ( x right) right) a ^ < prime> left (x right) + int _^ frac < parcial> < parcial x> f left (t, x right) dt end

( blacksquare ) La función diferenciable implica continua. Pero continuo no implica diferenciable. El ejemplo es la función ( left vert x right vert ).

( blacksquare ) La curvatura media siendo cero es una característica de las superficies mínimas.

( blacksquare ) ¿Cómo encontrar la diferencia de fase entre 2 señales (x_ <1> (t), x_ <2> (t) )? Una forma es encontrar la DFT de ambas señales (en Mathematica esto es Fourier, en Matlab ff t ()), luego encontrar dónde se encuentra el contenedor donde se encuentra la frecuencia pico (en cualquiera de las salidas), luego encontrar la diferencia de fase entre los 2 contenedores en esa ubicación. El valor de DFT en ese contenedor es un número complejo. Utilice Arg en Mathematica para encontrar su fase. La diferencia da la diferencia de fase entre las señales originales en el dominio del tiempo. Consulte https://mathematica.stackexchange.com/questions/11046/how-to-find-the-phase-difference-of-two-sampled-sine-waves para ver un ejemplo.

( blacksquare ) Tenga cuidado al elevar ambos lados de la ecuación al cuadrado. Por ejemplo, dado (y = sqrt ). cuadrar ambos lados da (y ^ <2> = x ). Pero esto solo es cierto para (y geq 0 ). ¿Por qué? Tomemos la raíz cuadrada de esto para volver a la ecuación original. Esto da ( sqrt > = sqrt ). Y aquí está el problema, ( sqrt > = y ) solo para (y geq 0 ). ¿Por qué? Supongamos (y = -1 ). Entonces ( sqrt > = sqrt < left (-1 right) ^ <2>> = sqrt <1> = 1 ) que no es (- 1 ). Entonces, al tomar el cuadrado de ambos lados de la ecuación, recuerde esta condición.

( blacksquare ) no reemplaza ( sqrt > ) por (x ), pero por (| x | ), ya que (x = sqrt > ) solo para (x ) no negativo.

( blacksquare ) Dada una ecuación, queremos resolver para (x ). Podemos cuadrar ambos lados para deshacernos de la raíz cuadrada si es necesario en un lado. Pero ten cuidado. Aunque después de elevar al cuadrado ambos lados, la nueva ecuación sigue siendo cierta, las soluciones de la nueva ecuación pueden introducir una solución extraña que no satisface la ecuación original. Aquí hay un ejemplo que vi en Internet que ilustra esto. Dado ( sqrt = x-6 ). Y queremos resolver para (x ). Cuadrar ambos lados da (x = left (x-6 right) ^ <2> ). Esto tiene soluciones (x = 9, x = 4 ). Pero solo (x = 9 ) es una solución válida para la ecuación original antes de elevar al cuadrado. La solución (x = 4 ) es extraña. Por lo tanto, es necesario verificar todas las soluciones encontradas después de cuadrar con la ecuación original y eliminar las que no sean necesarias. En resumen, si (a ^ <2> = b ^ <2> ) entonces esto no significa que (a = b ). Pero si (a = b ) entonces significa que (a ^ <2> = b ^ <2> ). Por ejemplo ( left (-5 right) ^ <2> = 5 ^ <2> ). Pero (- 5 neq 5 ).

2 Conversión de EDO de primer orden que es homogéneo en EDO separable

Si la EDO (M left (x, y right) + N left (x, y right) frac = 0 ) tiene funciones homogéneas (M ) y (N ) de la misma potencia, entonces esta EDO se puede convertir en separable. Aquí hay un ejemplo. Queremos resolver begin left (x ^ <3> + 8x ^ <2> y right) + left (4xy ^ <2> -y ^ <3> right) y ^ < prime> = 0 tag <1> final Lo anterior es homogéneo en (M, N ), ya que las potencias totales de cada término en ellos es (3 ). [ Left ( overset <3> < overbrace >> + 8 overset <3> < overbrace y >> right) + left (4 overset <3> < overbrace >> - overset <3> < overbrace >> right) y ^ < prime> = 0 ] Entonces miramos cada término en (N ) y (M ) y sumamos todas las potencias en cada (x, y ) en ellos. Todas las potencias deben sumar el mismo valor, que es (3 ) en este caso. Por supuesto, (N, M ) deberían ser polinomios para que esto funcione. Entonces, uno debe verificar que sean polinomios en (x, y ) antes de comenzar este proceso. Una vez que comprobamos que (M, N ) son homogéneos, entonces dejamos [y = xv ] Por lo tanto, ahora begin M & amp = x ^ <3> + 8x ^ <2> left (xv right) nonumber & amp = x ^ <3> + 8x ^ <3> v tag <2> end

Y empezar N & amp = 4x left (xv right) ^ <2> - left (xv right) ^ <3> nonumber & amp = 4x ^ <3> v ^ <2> -x ^ <3> v ^ <3> etiqueta <3> end

Y empezar y ^ < prime> = v + xv ^ < prime> tag <4> end Sustituyendo (3,4,5) en (1) da begin left (x ^ <3> + 8x ^ <3> v right) + left (4x ^ <3> v ^ <2> -x ^ <3> v ^ <3> right) left (v + xv ^ < prime> right) & amp = 0 left (x ^ <3> + 8x ^ <3> v right) + left (4x ^ <3> v ^ <3> -x ^ <3> v ^ <4> right) + left (4x ^ <4> v ^ <2> -x ^ <4> v ^ <3> right) v ^ < prime> & amp = 0 end

Dividiendo entre (x ^ <3> neq 0 ) se simplifica a [ left (1 + 8v right) + left (4v ^ <3> -v ^ <4> right) + x left (4v ^ <2> -v ^ <3> right) v ^ < prime> = 0 ] Que se puede escribir como begin x left (4v ^ <2> -v ^ <3> right) v ^ < prime> & amp = - left ( left (1 + 8v right) + left (4v ^ <3> -v ^ <4> right) right) v ^ < prime> & amp = frac <- left ( left (1 + 8v right) + left (4v ^ <3> -v ^ <4 > derecha) derecha)> < izquierda (4v ^ <2> -v ^ <3> derecha)> izquierda ( frac <1> right) end

Vemos que ahora es separable. Ahora resolvemos esto para (v left (x right) ) mediante la integración directa de ambos lados Y luego usando (y = xv ) hallar (y left (x right) ).

3 Resolución directa de algunos PDE simples

Algunos PDE simples se pueden resolver mediante integración directa, aquí hay algunos ejemplos.

[ frac < Partical z left (x, y right)> < Partical x> = 0 ] Integrando w.r.t. (x )., y recordando que ahora la constante de integración será función de (y ), entonces [z left (x, y right) = f left (y right) ] Ejemplo 2 [ frac < partial ^ <2> z left (x, y right)> < partial x ^ <2>> = x ] Integrando una vez wrt (x ) da [ frac < parcial z left (x, y right)> < parcial x> = frac > <2> + f left (y right) ] La integración de nuevo da [z left (x, y right) = frac > <6> + xf left (y right) + g left (y right) ] Ejemplo 3 [ frac < parcial ^ <2> z left (x, y right)> < parcial y ^ <2>> = y ] Integrando una vez wrt (y ) da [ frac < parcial z left (x, y right)> < parcial y> = frac > <2> + f left (x right) ] La integración de nuevo da [z left (x, y right) = frac > <6> + yf left (x right) + g left (x right) ] Ejemplo 4 [ frac < parcial ^ <2> z left (x, y right)> < parcial x parcial y> = 0 ] Integrando una vez wrt (x ) da [ frac < parcial z left (x, y right)> < parcial y> = f left (y right ) ] Integrando nuevamente wrt (y ) da [z left (x, y right) = int f left (y right) dy + g left (x right) ] Ejemplo 5

Resuelve (u_+ u_= 0 ) con (u left (x, 1 right) = frac <1 + x ^ <2>> ). Sea (u equiv u left (x left (t right), t right) ), por lo tanto [ frac

= frac < u parcial> < t parcial> + frac < u parcial> < parcial x> frac
] Comparando lo anterior con el PDE dado, vemos que si ( frac
= 1 ) luego ( frac
= 0 ) o (u left (x left (t right), t right) ) es constante. En (t = 1 ) se nos da que begin u = frac <1 + x left (1 right) ^ <2>> tag <1> end Para encontrar (x left (1 right) ), de ( frac
= 1 ) obtenemos que (x left (t right) = t + c ). En (t = 1 ), (c = x left (1 right) -1 ). Por lo tanto, (x left (t right) = t + x left (1 right) -1 ) o [x left (1 right) = x left (t right) + 1-t ] Por tanto, la solución de (1) se convierte en [u = frac <1+ left (x-t + 1 right) ^ <2>> ] Ejemplo 6

Sea (u equiv u left (x left (t right), t right) ), por lo tanto [ frac

= frac < u parcial> < t parcial> + frac < u parcial> < parcial x> frac
] Comparando lo anterior con el PDE dado, vemos que si ( frac
= 1 ) luego ( frac
= -u ^ <2> ) o ( frac <-1>= -t + c. ) Por lo tanto [u = frac <1>] En (t = 0 ), (c = frac <1>). Sea (u left (x left (0 right), 0 right) = f left (x left (0 right) right) ). Por lo tanto [u = frac <1>> ] Ahora necesitamos encontrar (x left (0 right) ). Desde ( frac
= 1 ), luego (x = t + c ) o (c = x left (0 right) ), entonces (x left (0 right) = xt ) y lo anterior se convierte [u left (x, t right) = frac <1>> = frac ]

4 Diagrama de flujo de la serie de Fourier

4.1 Teorema sobre cuándo podemos hacer la diferenciación término por término

Si (f left (x right) ) en (- L leq x leq L ) es continuo (fíjese, NO continuo por partes), esto significa (f left (x right) ) no tiene saltos, y ese (f ^ < prime> left (x right) ) existe en (- L & ltx & ltL ) y (f ^ < prime> left (x right) ) es continuo o continuo por partes (observe que (f ^ < prime> left (x right) ) puede ser continuo por partes (PWC), es decir, tiene un número finito de discontinuidades de salto), y también y esto es muy importante, que (f left (-L right) = f left (L right) ) entonces podemos hacer la diferenciación término por término de la serie de Fourier de (f left (x right) ) y use (= ) en lugar de ( sim ). No solo eso, sino que la diferenciación término por término de la serie de Fourier de (f left (x right) ) dará la serie de Fourier de (f ^ < prime> left (x right) ) sí mismo.

Entonces, la restricción principal aquí es que (f left (x right) ) en (- L leq x leq L ) es continua (sin discontinuidades de salto) y que (f left (-L derecha) = f izquierda (L derecha) ). Así que mira primero (f left (x right) ) y ve si es continuo o no (recuerda, el (f left (x right) ) completo tiene que ser continuo, no por partes, entonces sin discontinuidades de salto). Si se cumple esta condición, observe si (f left (-L right) = f left (L right) ).

Por ejemplo, (f left (x right) = x ) en (- 1 leq x leq 1 ) es continuo, pero (f left (-1 right) neq f left ( 1 right) ) entonces el FS de (f left (x right) ) no puede ser un término diferenciado por un término (bueno, sí puede, pero el resultado no será la serie de Fourier de (f ^ < prime> left (x derecho ) )). Por lo tanto, no deberíamos hacer una diferenciación término por término en este caso.

Pero la serie de Fourier para (f left (x right) = x ^ <2> ) se puede diferenciar término por término. Esto tiene su (f ^ < prime> left (x right) ) siendo continuo, ya que cumple con todas las condiciones. También las series de Fourier para (f left (x right) = left vert x right vert ) pueden diferenciarse término por término. Esto tiene su (f ^ < prime> left (x right) ) siendo P.W.C. debido a un salto en (x = 0 ) pero eso está bien, ya que (f ^ < prime> left (x right) ) puede ser PWC, pero es (f left ( x right) ) que no puede ser PWC

Hay un corolario útil que proviene de lo anterior. Si (f left (x right) ) cumple todas las condiciones anteriores, entonces su serie de Fourier es absolutamente convergente y también uniformemente convergente. La prueba M se puede utilizar para verificar que la serie de Fourier sea uniformemente convergente.

4.2 Relación entre coeficientes de la serie de Fourier de (f left (x right) ) Serie de Fourier de (f ^ left (x right) )

Si se permite la diferenciación término por término, entonces comencemos f left (x right) & amp = frac > <2> + sum _^ < infty> a_ cos left (n frac < pi>x derecha) + b_ sin left (n frac < pi>x right) f ^ < prime> left (x right) & amp = frac < alpha _ <0>> <2> + sum _^ < infty> alpha _ cos left (n frac < pi>x derecha) + beta _ sin left (n frac < pi>x right) end

Y la desigualdad de Bessel en lugar de ( frac ^ <2>> <2> + sum _^ < infty> left (a_^ <2> + b_^ <2> right) & lt infty ) ahora se convierte en ( sum _^ < infty> n ^ <2> left (a_^ <2> + b_^ <2> right) & lt infty ). Entonces es más fuerte.

4.3 Teorema de convergencia de series de Fourier

Si (f left (x right) ) es continuo por partes en (- L & ltx & ltL ) y si es periódico con período (2L ) y si en cualquier punto (x ) en todo el dominio (- infty & ltx & lt infty ) existen tanto la derivada del lado izquierdo como la derivada del lado derecho (¡pero no tienen que ser iguales!) Entonces decimos que la serie de Fourier de (f left (x right) ) converge y converge al promedio de (f left (x right) ) en cada punto, incluidos los puntos que tienen discontinuidades de salto.

5 Laplaciano en diferentes coordenadas

6 La combinación lineal de dos soluciones es la solución a la EDO

Multiplica la primera EDO por (c_ <1> ) y la segunda EDO por (c_ <2> ) begin a left (c_ <1> y_ <1> right) ^ < prime prime> + b left (c_ <1> y_ <1> right) ^ < prime> + c left (c_ < 1> y_ <1> right) & amp = 0 a left (c_ <2> y_ <2> right) ^ < prime prime> + b left (c_ <2> y_ <2> derecha) ^ < prime> + c left (c_ <2> y_ <2> right) & amp = 0 end

Sume las dos ecuaciones anteriores, usando linealidad de diferenciales [a left (c_ <1> y_ <1> + c_ <2> y_ <2> right) ^ < prime prime> + b left (c_ < 1> y_ <1> + c_ <2> y_ <2> right) ^ < prime> + c left (c_ <1> y_ <1> + c_ <2> y_ <2> right) = 0 ] Por lo tanto, (c_ <1> y_ <1> + c_ <2> y_ <2> ) satisface la EDO original. De ahí la solución.

7 Para encontrar la EDO Wronskiana

Sustituyendo (2,3) en (1) se obtiene la ecuación diferencial wronskiana begin -a izquierda ( frac right) -pW & amp = 0 aW ^ < prime> + pW & amp = 0 end

Recuerde: (W left (x_ <0> right) = 0 ) no significa que las dos funciones sean linealmente dependientes. Las funciones aún pueden ser linealmente independientes en otro intervalo, solo significa que (x_ <0> ) no puede estar en el dominio de la solución para que dos funciones sean soluciones. Sin embargo, si las dos funciones son linealmente dependientes, esto implica (W = 0 ) en todas partes. Entonces, para verificar si dos funciones son L.D., es necesario mostrar que (W = 0 ) en todas partes.

8 notas sobre las funciones verdes

( blacksquare ) La función verde es lo que se llama respuesta de impulso en control. Pero es más general y también se puede utilizar para resolver PDE.

Dada una ecuación diferencial con alguna función de forzamiento en el lado derecho. Para resolver esto, reemplazamos la función de forzamiento con un impulso. La solución de la DE ahora se llama respuesta de impulso, que es la función de Green de la ecuación diferencial.

Ahora, para encontrar la solución al problema original con la función de forzamiento original, simplemente convolvemos la función de Green con la función de forzamiento original. Aquí hay un ejemplo. Suponga que queremos resolver (L left [y left (t right) right] = f left (t right) ) con condiciones iniciales cero. Luego resolvemos (L left [g left (t right) right] = delta left (t right) ). La solución es (g left (t right) ). Ahora (y left (t right) = g left (t right) circledast f left (t right) ). Esto es por un problema de valor inicial. Por ejemplo. (y ^ < prime> left (t right) + kx = e ^), con (y left (0 right) = 0 ). Luego resolvemos (g ^ < prime> left (t right) + kg = delta left (t right) ). La solución es (g left (t right) = left < begin [C]e ^ <-kt> & amp t & gt0 0 & amp t & lt0 end derecho . ), esto es para el sistema causal. Por lo tanto, (y left (t right) = g left (t right) circledast f left (t right) ). Lo bueno aquí es que una vez que encontramos (g left (t right) ), podemos resolver (y ^ < prime> left (t right) + kx = f left (t right) ) para cualquier (f left (t right) ) simplemente convolucionando la función de Green (respuesta de impulso) con la nueva (f left (t right) ).

( blacksquare ) Podemos pensar en la función de Green como un operador inverso. Dado (L left [y left (t right) right] = f left (t right) ), queremos encontrar la solución (y left (t right) = int _ < - infty> ^ < infty> G left (t tau right) f left ( tau right) d tau ). Entonces, en cierto sentido, (G left (t tau right) ) es como (L ^ <-1> left [y left (t right) right] ).

( blacksquare ) Es necesario agregar notas para la función verde para el valor límite de Sturm-Liouville ODE. Es necesario tener claro qué condiciones de contorno utilizar. ¿Qué es B.C. no es homogéneo?

( blacksquare ) Propiedades de la función verde:

  1. (G left (t tau right) ) es continuo en (t = tau ). Aquí es donde se encuentra el impulso.
  2. La derivada (G ^ < prime> left (t right) ) justo antes de (t = tau ) no es lo mismo que (G ^ < prime> left (t right) ) justo después de (t = tau ). es decir, (G ^ < prime> left (tt- varepsilon right) -G ^ < prime> left (tt + varepsilon right) neq 0 ). Esto significa que hay discontinuidad en la derivada.
  3. (G left (t tau right) ) debe satisfacer las mismas condiciones de contorno que la PDE u ODE original (esto es para Sturm-Liouville o problemas de valores de frontera).
  4. (L left [G left (t tau right) right] = 0 ) para (t neq tau )
  5. (G left (x tau right) ) es simétrico. es decir, (G left (x tau right) = G left ( tau x right) ).

( blacksquare ) Al resolver (G left (t tau right) ), en el contexto de 1D, por lo tanto, dos condiciones de contorno, una en cada extremo, y una EDO de segundo orden (Sturm-Liouville), ahora obtenga dos soluciones, una para (t & lt tau ) y otra para (t & gt tau ).

Entonces tenemos (4 ) constantes de integraciones para encontrar (esto es para EDO de segundo orden) no solo dos constantes como normalmente se obtendría, ya que ahora tenemos 2 soluciones diferentes. Dos de estas constantes de las dos condiciones de contorno y dos más provienen de la propiedad de la función de Green como se mencionó anteriormente. (G left (t tau right) = left < begin [C]A_ <1> y_ <1> + A_ <2> y_ <2> & amp 0 & ltt & lt tau A_ <3> y_ <1> + A_ <4> y_ <2> & amp tau & ltt & ltL end derecho . )

9 notas de transformación de Laplace

( blacksquare ) Recuerda que (u_ left (t right) f left (t-c right) Longleftrightarrow e ^ <-cs> F left (s right) ) y (u_ left (t right) f left (t right) Longleftrightarrow e ^ <-cs> mathcal left ). Por ejemplo, si se nos da (u_ <2> left (t right) t ), entonces ( mathcal left (u_ <2> left (t right) t right) = e ^ <-2s> mathcal left = e ^ <-2s> left ( frac <1>> + frac <2> right) = e ^ <-2s> left ( frac <1 + 2s>> derecha) ). No lo hagas (u_ left (t right) f left (t right) Longleftrightarrow e ^ <-cs> mathcal left )! Eso será un gran error. Usamos esta asignación cuando se nos pide que escribamos una función por partes usando funciones de Heaviside.

Serie 10, serie de potencia, notas de la serie Laurent

( blacksquare ) si tenemos una función (f left (x right) ) representada como una serie (digamos una serie de potencias o una serie de Fourier), entonces decimos que la serie converge a (f left (x right) ) uniformemente en la región (D ), si se da ( varepsilon & gt0 ), podemos numerar (N ) que depende solo de ( varepsilon ), tal que ( left vert f left (x right) -S_ izquierda (x derecha) derecha vert & lt varepsilon ).

¿Dónde aquí (S_ left (x right) ) es la suma parcial de la serie usando (N ) términos. La diferencia entre convergencia uniforme y convergencia no uniforme es que con uniforme el número (N ) solo depende de ( varepsilon ) y no de qué (x ) estamos tratando de aproximar (f left (x derecha) ) en. En convergencia uniforme, el número (N ) depende tanto de ( varepsilon ) como de (x ). Entonces, esto significa que en algunas ubicaciones en (D ) necesitamos (N ) mucho más grande que en otras ubicaciones para la convergencia a (f left (x right) ) con la misma precisión. La convergencia uniforme es mejor. Depende de las funciones básicas utilizadas para aproximar (f left (x right) ) en la serie.

Si la función (f left (x right) ) es discontinua en algún punto, entonces no es posible encontrar allí una convergencia uniforme. A medida que nos acercamos más y más a la discontinuidad, se necesitan más y más términos para obtener la misma aproximación lejos de la discontinuidad, por lo tanto, no convergencia uniforme. Por ejemplo, la aproximación en serie de Fourier de una función escalonada no puede ser uniformemente convergente debido a la discontinuidad en la función escalonada.

( blacksquare ) ( ) Serie binomial:

El binomio general es [ left (x + y right) ^= x ^+ nx ^y + frac <2!> X ^y ^ <2> + frac <3!> X ^y ^ <3> + cdots ] De lo anterior podemos generar todos los demás casos especiales. Por ejemplo, [ left (1 + x right) ^= 1 + nx + frac > <2!> + Frac > <3!> + Cdots ] Esto funciona para (n ) positivo y negativo, racional o no. La suma converge cuando solo para ( left vert x right vert & lt1 ). De esto, podemos derivar las sumas anteriores también para la serie geométrica. Por ejemplo, para (n = -1 ) lo anterior se convierte en begin frac <1> < left (1 + x right)> & amp = 1-x + x ^ <2> -x ^ <3> + cdots qquad left vert x right vert & lt1 frac <1> < left (1-x right)> & amp = 1 + x + x ^ <2> + x ^ <3> + cdots qquad left vert x right vert & lt1 end

Para ( left vert x right vert & gt1 ), aún podemos encontrar expansión en serie en potencias negativas de (x ) como sigue begin left (1 + x right) ^ & amp = left (x left (1+ frac <1> derecha) derecha) ^ & amp = x ^ left (1+ frac <1> derecha) ^ final

Y ahora, desde ( left vert frac <1> right vert & lt1 ), podemos usar la expansión binomial para expandir el término ( left (1+ frac <1> derecha) ^) en lo anterior y obtener una serie convergente, ya que ahora ( left vert frac <1> right vert & lt1 ,. ) Esto dará la siguiente expansión begin left (1 + x right) ^ & amp = x ^ left (1+ frac <1> derecha) ^ & amp = x ^ left (1 + n left ( frac <1> derecha) + frac <2!>left ( frac <1> derecha) ^ <2> + frac <3!>left ( frac <1> right) ^ <3> + cdots right) end

Entonces todo es igual, solo cambiamos (x ) con ( frac <1>) y recuerda multiplicar toda la expansión por (x ^). Por ejemplo, para (n = -1 ) begin frac <1> < left (1 + x right)> & amp = frac <1> right)> = frac <1> izquierda (1- frac <1>+ izquierda ( frac <1> right) ^ <2> - left ( frac <1> right) ^ <3> + cdots right) qquad left vert x right vert & gt1 frac <1> < left (1-x right)> & amp = frac <1> right)> = frac <1> left (1+ frac <1>+ izquierda ( frac <1> right) ^ <2> + left ( frac <1> right) ^ <3> + cdots right) qquad left vert x right vert & gt1 end

Estos trucos son muy útiles cuando se trabaja con la serie Laurent.

( blacksquare ) ( ) Serie aritmética: begin sum _^n & amp = frac <1> <2> N left (N + 1 right) sum _^a_ & amp = N left ( frac + a_> <2> right) end

es decir, la suma es (N ) multiplicada por la media aritmética.

( blacksquare ) ( ) Serie de Taylor: expandida alrededor de (x = a ) es [f left (x right) = f left (a right) + left (xa right ) f ^ < prime> left (a right) + frac < left (xa right) ^ <2> f ^ < prime prime> left (a right)> <2!> + frac < left (xa right) ^ <3> f ^ < left (3 right)> left (a right)> <3!> + cdots + R_] Donde (R_) es el resto (R_= frac < left (x-a right) ^> < left (n + 1 right)!> f ^ < left (n + 1 right)> left (x_ <0> right) ) donde (x_ <0> ) es algún punto entre (x ) y (a ).

( blacksquare ) ( ) Serie de Maclaurin: es simplemente Taylor expandido alrededor de cero. es decir, (a = 0 ) [f left (x right) = f left (0 right) + xf ^ < prime> left (0 right) + frac f ^ < prime prime> left (0 right)> <2!> + frac f ^ < left (3 right)> left (0 right)> <3!> + cdots ] ( blacksquare ) ( ) Este diagrama muestra la diferente convergencia de series y la relación entre ellos

Lo anterior muestra que una serie absolutamente convergente ( (B )) también es convergente. Además, una serie uniformemente convergente ( (D )) también es convergente. Pero la serie (B ) es absolutamente convergente y no uniforme convergente. Mientras que (D ) es uniforme convergente y no absolutamente convergente.

La serie (C ) es absoluta y uniformemente convergente. Y finalmente la serie (A ) es convergente, pero no absolutamente (llamada condicionalmente convergente). Ejemplos de (B ) (converge absolutamente pero no uniformemente) es begin sum _^ < infty> x ^ <2> frac <1> < left (1 + x ^ <2> right) ^> & amp = x ^ <2> left (1+ frac <1> <1 + x ^ <2>> + frac <1> < left (1 + x ^ <2> right) ^ <2 >> + frac <1> < left (1 + x ^ <2> right) ^ <3>> + cdots right) & amp = x ^ <2> + frac > <1 + x ^ <2>> + frac > < left (1 + x ^ <2> right) ^ <2>> + frac > < left (1 + x ^ <2> right) ^ <3>> + cdots end

Y ejemplo de (D ) (converge uniformemente pero no absolutamente) es [ sum _^ < infty> left (-1 right) ^ frac <1>+ n> = frac <1>+1> - frac <1>+2> + frac <1>+3> - frac <1>+4> + cdots ] Ejemplo de (A ) (converge pero no absolutamente) es la serie armónica alterna [ sum _^ < infty> left (-1 right) ^ frac <1>= 1- frac <1> <2> + frac <1> <3> - frac <1> <4> + cdots ] Lo anterior converge a ( ln left (2 right) ) pero absolutamente ahora se convierte en la serie armónica y diverge [ sum _^ < infty> frac <1>= 1 + frac <1> <2> + frac <1> <3> + frac <1> <4> + cdots ] Para una convergencia uniforme, realmente necesitamos tener una (x ) en la serie y no solo los números, ya que la idea detrás de la convergencia uniforme es si la serie converge dentro de una tolerancia de error ( varepsilon ) usando el mismo número de términos independientes del punto (x ) en la región.

( blacksquare ) Usando sumas parciales. Sea ( sum _^ < infty> a_) ser una secuencia. La suma parcial es (S_= sum _^a_). Entonces [ sum _^ < infty> a_= lim _S_] Si ( lim _S_) existen y son finitos, entonces podemos decir que ( sum _^ < infty> a_) converge. Entonces, aquí usamos establecer una secuencia cuyos términos son suma parcial, y observan lo que sucede en el límite de un término como (N rightarrow theta ). Es necesario encontrar un ejemplo en el que este método sea más fácil de usar para probar la convergencia que el otro método a continuación.

( blacksquare ) Dada una serie, se nos permite reorganizar el orden de los términos solo cuando la serie es absolutamente convergente. Por lo tanto, para la serie alterna (1- frac <1> <2> + frac <1> <3> - frac <1> <4> + cdots ), no reorganice los términos ya que esto no es absolutamente convergente. Esto significa que la suma de la serie es independiente del orden en que se agregan los términos solo cuando la serie es absolutamente convergente.

( blacksquare ) En una serie infinita de números complejos, la serie converge, si la parte real de la serie y también la parte compleja de la serie, cada una converge por sí misma.

( blacksquare ) Serie de potencia: (f left (z right) = sum _^ < infty> a_ left (z-z_ <0> right) ^). Esta serie se centra en (z_ <0> ). O expandido alrededor de (z_ <0> ). Esto tiene un radio de convergencia (R ) es la serie que converge para ( left vert z-z_ <0> right vert & ltR ) y diverge para ( left vert z-z_ <0> derecha vert & gtR ).

( blacksquare ) Prueba de convergencia.

  1. Comience siempre con una prueba preliminar. Si ( lim _a_) no va a cero, entonces no es necesario hacer nada más. La serie ( sum _^ < infty> a_) no converge. Diverge. Pero si ( lim _a_= 0 ), todavía puede divergir. Por tanto, esta es una condición necesaria pero no suficiente para la convergencia. Un ejemplo es ( sum frac <1>). Aquí un_ rightarrow 0 ) en el límite, pero sabemos que esta serie no converge.
  2. Para la convergencia uniforme, existe una prueba llamada prueba Weierstrass M, que se puede utilizar para verificar si la serie es uniformemente convergente. Pero si esta prueba falla, esto no significa necesariamente que la serie no sea uniforme convergente. Todavía puede ser uniforme convergente. (necesita un ejemplo).
  3. Para probar la convergencia absoluta, use la prueba de razón. Si (L = lim _ left vert frac <>><>> right vert & lt1 ) luego absolutamente convergente. Si (L = 1 ) entonces no es concluyente. Prueba la prueba integral. Si (L & gt1 ) entonces no es absolutamente convergente. También está la prueba de raíz. (L = lim _ sqrt [n] < left vert a_ right vert> = lim _ left vert a_ right vert ^ < frac <1>>).
  4. La prueba integral, se usa cuando la prueba de razón no es concluyente. (L = lim _ int ^f left (x right) dx ) donde (a left (n right) ) se convierte en (f left (x right) ). Recuerde usar esto solo de los términos de la secuencia son monótonamente decrecientes y todos son positivos. Por ejemplo, ( sum _^ < infty> ln left (1+ frac <1> right) ), luego usa (L = lim _ int ^ ln left (1+ frac <1> right) dx = left ( left (1 + x right) ln left (1 + x right) -x ln left (x right) -1 right) ^). Observe que solo usamos el límite superior en la integral. Esto se convierte (después de simpli fi caciones) ( lim _ frac = 1 ). Por tanto, el límite (L ) es finito, entonces la serie converge.
  5. El radio de convergencia se llama (R = frac <1>) donde (L ) es de (3) arriba.
  6. Prueba de comparación. Compare la serie con una que ya sabemos que converge. Sea ( sum b_) ser una serie que sabemos que es convergente (por ejemplo ( sum frac <1>> )), y queremos encontrar si ( sum a_) converge. Si todos los términos de ambas series son positivos y si (a_ leq b_) para cada (n ), entonces concluimos que ( sum a_) también converge.

( blacksquare ) Para la serie de Laurent, digamos que la singularidad está en (z = 0 ) y (z = 1 ). Para expandir alrededor de (z = 0 ), obtenga (f left (z right) ) para que se vea como ( frac <1> <1-z> ) y use series geométricas para ( left vert z right vert & lt1 ). Para expandir alrededor de (z = 1 ), hay dos opciones, hacia adentro y hacia afuera. Para el exterior, es decir, ( left vert z right vert & gt1 ), obtenga (f left (z right) ) para tener ( frac <1> <1- frac <1>> ), ya que ahora es válido para ( left vert z right vert & gt1 ).

( blacksquare ) Solo puede usar series de potencia ( sum a_ left (z-z_ <0> right) ^) para expandir (f left (z right) ) alrededor de (z_ <0> ) solo si (f left (z right) ) es analítico en (z_ <0> ) . Si (f left (z right) ) no es analítico en (z_ <0> ) es necesario utilizar la serie Laurent. Piense en la serie Laurent como una extensión de la serie de potencia para manejar singularidades.

10.1 Algunos trucos para encontrar sumas

10.1.1 Ejemplo 1

solución Sea (f left (x right) = sum _^ < infty> frac <>>), tomando la derivada se obtiene begin f ^ < prime> left (x right) & amp = i sum _^ < infty> e ^ & amp = i sum _^ < infty> left (e ^ derecha) ^ & amp = i left ( sum _^ < infty> left (e ^ derecha) ^-1 derecha) & amp = frac <1-e ^> -i end

Por lo tanto begin f left (x right) & amp = int left ( frac <1-e ^> -i derecha) dx & amp = i int frac <1-e ^> -ix + C & amp = i left (x + i ln left (1-e ^ right) right) -ix + C & amp = ix- ln left (1-e ^ right) -ix + C & amp = - ln left (1-e ^ right) + C end

Podemos establecer (C = 0 ) para obtener [ sum _^ < infty> frac <>>= - ln left (1-e ^derecho ) ]

10.2 Métodos para encontrar la serie Laurent

Encontremos la serie de Laurent para (f left (z right) = frac <5z-2>). Hay una singularidad de orden (1 ) en (z = 0 ) y (z = 1 ).

10.2.1 Método uno

Expansión alrededor de (z = 0 ). Empecemos g left (z right) & amp = zf left (z right) & amp = frac <5z-2> < left (z-1 right)> end

Esto hace que (g left (z right) ) analítica alrededor de (z ), ya que (g left (z right) ) no tiene un polo en (z = 0 ), entonces es analítico alrededor de (z = 0 ) y por lo tanto tiene una expansión de series de potencia alrededor de (z = 0 ) dada por begin g left (z right) = sum _^ < infty> a_z ^ etiqueta <1> end Donde un_= frac <1>izquierda . g ^ < left (n right)> left (z right) right vert _] Pero [g left (0 right) = 2 ] Y begin g ^ < prime> left (z right) & amp = frac <5 left (z-1 right) - left (5z-2 right)> < left (z-1 right) ^ <2>> = frac <-3> < left (z-1 right) ^ <2>> g ^ < prime> left (0 right) & amp = -3 end

Y así. Por lo tanto, desde (1) begin g left (z right) & amp = g left (0 right) + g ^ < prime> left (0 right) z + frac <1> <2!> g ^ < prime prime> left (0 right) z ^ <2> + frac <1> <3!> g ^ < prime prime prime> left (0 right) z ^ <3> + cdots & amp = 2-3z- frac <6> <2> z ^ <2> - frac <18> <3!> Z ^ <3> - cdots & amp = 2-3z-3z ^ <2> - 3z ^ <3> - cdots end

El residuo es (2 ). La expansión anterior es válida alrededor de (z = 0 ) hacia arriba y sin incluir la siguiente singularidad, que está en (z = 1 ). Ahora encontramos la expansión de (f left (z right) ) alrededor de (z = 1 ). Empecemos g left (z right) & amp = left (z-1 right) f left (z right) & amp = frac <5z-2> final

Esto hace que (g left (z right) ) analítica alrededor de (z = 1 ), ya que (g left (z right) ) no tiene un polo en (z = 1 ) . Por lo tanto, tiene una expansión en serie de potencias de (z = 1 ) dada por begin g left (z right) = sum _^ < infty> a_ left (z-1 right) ^ etiqueta <1> end Donde un_= frac <1>izquierda . g ^ < left (n right)> left (z right) right vert _] Pero [g left (1 right) = 3 ] Y begin g ^ < prime> left (z right) & amp = frac <5z- left (5z-2 right)>> = frac <2>> g ^ < prime> left (1 right) & amp = 2 end

Y así. Por lo tanto, desde (1) begin g left (z right) & amp = g left (1 right) + g ^ < prime> left (1 right) left (z-1 right) + frac <1> <2! > g ^ < prime prime> left (1 right) left (z-1 right) ^ <2> + frac <1> <3!> g ^ < prime prime prime> izquierda (1 derecha) izquierda (z-1 derecha) ^ <3> + cdots & amp = 3 + 2 left (z-1 right) - frac <4> <2> left ( z-1 right) ^ <2> + frac <12> <3!> left (z-1 right) ^ <3> - cdots & amp = 3 + 2 left (z-1 derecha) -2 left (z-1 right) ^ <2> +2 left (z-1 right) ^ <3> - cdots end

Por lo tanto begin f left (z right) & amp = frac & amp = frac <3>+ 2-2 left (z-1 right) +2 left (z-1 right) ^ <2> -2 left (z-1 right) ^ <3> + cdots end

El residuo es (3 ). La expansión anterior es válida alrededor de (z = 1 ) hacia arriba y sin incluir la siguiente singularidad, que está en (z = 0 ) dentro de un círculo de radio (1 ).

Al juntar las dos regiones anteriores, vemos que hay una expansión en serie de (f left (z right) ) que se comparte entre las dos regiones, en la región sombreada de abajo.

Dejemos que la misma serie en la región compartida dé los mismos valores. Usando la expansión de la serie sobre (f left (0 right) ) para encontrar (f left (z right) ) en el punto (z = frac <1> <2> ), da (-2 ) cuando se utilizan (10 ​​) términos en la serie. Usar expansión en serie alrededor de (z = 1 ) para encontrar (f left ( frac <1> <2> right) ) usando (10 ​​) términos también da (- 2 ). Entonces, ambas series son válidas y producen el mismo resultado.

10.2.2 Método dos

Este método es más simple que el anterior, pero da como resultado diferentes regiones. Se basa en convertir la expresión para usar la expansión de series geométricas en ella. [F left (z right) = frac <5z-2>] Dado que hay un polo en (z = 0 ) y en (z = 1 ), primero encontramos la expansión para (0 & lt left vert z right vert & lt1 ). Para hacer esto, escribimos lo anterior como begin f left (z right) & amp = frac <5z-2> izquierda ( frac <1> right) & amp = frac <2-5z> left ( frac <1> <1-z> right) end

Y ahora expanda ( frac <1> <1-z> ) usando series geométricas, que es válida para ( left vert z right vert & lt1 ). Esto da begin f left (z right) & amp = frac <2-5z> left (1 + z + z ^ <2> + z ^ <3> + cdots right) & amp = frac <2> left (1 + z + z ^ <2> + z ^ <3> + cdots right) -5 left (1 + z + z ^ <2> + z ^ <3> + cdots right) & amp = left ( frac <2>+ 2 + 2z + 2z ^ <2> + cdots right) - left (5 + 5z + 5z ^ <2> + 5z ^ <3> + cdots right) & amp = frac <2>-3-3z-3z ^ <2> -3z ^ <3> - cdots end

Lo anterior es válido para (0 & lt left vert z right vert & lt1 ) que concuerda con el resultado del método 1.

Ahora, para encontrar la expansión de ( left vert z right vert & gt1 ), necesitamos un término que se parezca a ( left ( frac <1> <1- frac <1>> derecha) ). Desde ahora se puede expandir por ( left vert frac <1> right vert & lt1 ) o ( left vert z right vert & gt1 ) que es lo que queremos. Por lo tanto, escribir (f left (z right) ) como [f left (z right) = frac <5z-2>= frac <5z-2> izquierda (1- frac <1> right)> = frac <5z-2>> izquierda ( frac <1> <1- frac <1>> right) ] Pero para ( left vert frac <1> right vert & lt1 ) lo anterior se convierte en begin f left (z right) & amp = frac <5z-2>> izquierda (1+ frac <1>+ frac <1>> + frac <1>> + cdots right) & amp = frac <5> left (1+ frac <1>+ frac <1>> + frac <1>> + cdots right) - frac <2>> izquierda (1+ frac <1>+ frac <1>> + frac <1>> + cdots right) & amp = left ( frac <5>+ frac <5>> + frac <5>> + frac <5>> + cdots right) - left ( frac <2>> + frac <2>> + frac <2>> + frac <2>> + cdots right) & amp = frac <5>+ frac <3>> + frac <3>> + frac <3>> + cdots end

Con residuo (5 ). Lo anterior es válido para ( left vert z right vert & gt1 ). El siguiente diagrama ilustra el resultado obtenido con el método 2.

10.2.3 Método tres

Para la expansión sobre (z = 0 ), se usa el mismo método que el anterior, dando la misma serie válida para ( left vert z right vert & lt1 ,. ) Este método es un poco diferente para esos puntos otros que cero. La idea es reemplazar (z ) por (z-z_ <0> ) donde (z_ <0> ) es el punto sobre el que queremos expandirnos y hacer este reemplazo en (f left (z right) ) sí mismo. Entonces, para (z = 1 ) usando este ejemplo, dejamos ( xi = z-1 ) por lo tanto (z = xi +1 ). Entonces (f left (z right) ) se convierte en

Ahora expandimos ( frac <1> <1+ xi> ) para ( left vert xi right vert & lt1 ) y lo anterior se convierte en begin f left (z right) & amp = frac <5 xi +3> < xi> left (1- xi + xi ^ <2> - xi ^ <3> + xi ^ <4 > - cdots right) & amp = frac <5 xi +3> < xi> left (1- xi + xi ^ <2> - xi ^ <3> + xi ^ < 4> - cdots right) & amp = left ( frac <5 xi +3> < xi> - left (5 xi +3 right) + left (5 xi +3 derecha) xi - left (5 xi +3 right) xi ^ <2> + cdots right) & amp = left (5+ frac <3> < xi> -5 xi -3 + 5 xi ^ <2> +3 xi -5 xi ^ <3> -3 xi ^ <2> + cdots right) & amp = left (2+ frac <3> < xi> -2 xi +2 xi ^ <2> -2 xi ^ <3> + cdots right) end

Ahora reemplazamos ( xi = z-1 ) y lo anterior se convierte en [f left (z right) = left ( frac <3> < left (z-1 right)> + 2- 2 left (z-1 right) +2 left (z-1 right) ^ <2> -2 left (z-1 right) ^ <3> +2 left (z-1 right ) ^ <4> - cdots right) ] Lo anterior es válido para ( left vert xi right vert & lt1 ) o ( left vert z-1 , right vert & lt1 ) o (, - 1 & lt left (z-1 right) & lt1 ) o (0 & ltz & lt2 ). Esto da la misma serie y para la misma región que en el método uno. Pero esto es un poco más rápido ya que utiliza el atajo de series binomiales para encontrar la expansión en lugar de calcular derivadas como en el método uno.

10.2.4 Conclusión

El método uno y el método tres dan la misma serie y para las mismas regiones. El método tres usa la expansión binomial como atajo y requiere que uno convierta (f left (z right) ) a la forma para permitir el uso de la expansión binomial. El método uno no usa expansión binomial pero requiere hacer muchas derivadas para evaluar los términos de la serie de potencias. Es un método más directo.

El método dos también usa la expansión binomial, pero da diferentes regiones que el método uno y tres.

Si uno es bueno en la diferenciación, el método uno parece el más directo. De lo contrario, la elección es entre el método dos o tres, ya que ambos usan la expansión binomial. El método dos parece un poco más directo que el método tres. Depende también de cuál sea la forma del problema. Si el problema pide expandirse alrededor de (z_ <0> ) vs. si pide encontrar expansión en ( left vert z right vert & gt1 ) por ejemplo, entonces esto decide qué método usar.

11 notas de la función Gamma

( blacksquare ) La función gamma se define mediante [ Gamma left (x right) = int _ <0> ^ < infty> t ^e ^ <-t> dt qquad x & gt0 ] Lo anterior se llama representación de Euler. O si lo queremos de fi nir en dominio complejo, lo anterior se convierte en [ Gamma left (z right) = int _ <0> ^ < infty> t ^e ^ <-t> dt qquad operatorname left (z right) & gt0 ] Dado que lo anterior se de fi ne sólo para el semiplano derecho, hay una manera de extenderlo al semiplano izquierdo, usando lo que se llama continuación analítica. Más sobre esto a continuación. Primero, algunas relaciones que involucran ( Gamma left (x right) ) begin Gamma left (z right) & amp = left (z-1 right) Gamma left (z-1 right) qquad operatorname left (z right) & gt1 Gamma left (1 right) & amp = 1 Gamma left (2 right) & amp = 1 Gamma left (3 right) & amp = 2 Gamma left (4 right) & amp = 3! Gamma left (n right) & amp = left (n-1 right)! Gamma left (n + 1 right ) & amp = n! Gamma left ( frac <1> <2> right) & amp = sqrt < pi> Gamma left (z + 1 right) & amp = z Gamma izquierda (z right) qquad text Gamma left ( bar right) & amp = overline < Gamma left (z right)> Gamma left (n + frac <1> <2> right) & amp = frac <1 cdot 3 cdot 5 cdots left (2n-1 right)> <2 ^> sqrt < pi> end

( blacksquare ) Para extender ( Gamma left (z right) ) al semiplano izquierdo, es decir, para valores negativos. Definamos, usando la fórmula recursiva anterior [ bar < Gamma> left (z right) = frac < Gamma left (z + 1 right)> qquad operatorname left (z right) & gt-1 ] Por ejemplo, [ bar < Gamma> left (- frac <1> <2> right) = frac < Gamma left ( frac <1 > <2> right)> <- frac <1> <2>> = - 2 Gamma left ( frac <1> <2> right) = -2 sqrt < pi> ] Y para ( nombre de operador left (z right) & gt-2 ) [ bar < Gamma> left (- frac <3> <2> right) = frac < bar < Gamma> left (- frac <3> <2> +1 right)> <- frac <3> <2>> = left ( frac <1> <- frac <3> <2>> right) bar < Gamma> left (- frac <1> <2> right) = left ( frac <1> <- frac <3> <2>> right) left ( frac <1> < - frac <1> <2>> right) Gamma left ( frac <1> <2> right) = left ( frac <1> <- frac <3> <2>> derecha) left ( frac <1> <- frac <1> <2>> right) sqrt < pi> = frac <4> <3> sqrt < pi> ] Y así sucesivamente . Observe que para (x & lt0 ) las funciones ( Gamma left (x right) ) no están definidas para todos los enteros negativos (x = -1, -2, cdots ) ​​tampoco están definidas para (x = 0 )

( blacksquare ) El método anterior de extensión (o continuación analítica) de la función Gamma a valores negativos se debe a Euler. Otro método para extender Gamma se debe a Weierstrass. Comienza reescribiendo desde la definición de la siguiente manera, donde (a & gt0 ) begin Gamma left (z right) & amp = int _ <0> ^ < infty> t ^e ^ <-t> dt nonumber & amp = int _ <0> ^ t ^e ^ <-t> dt + int _ ^ < infty> t ^e ^ <-t> dt tag <1> end

Esto se ocupa de la primera integral en (1). Ahora, dado que el límite inferior de la segunda integral en (1) no es cero, entonces no hay problema para integrarlo directamente. Recuerde que en la de fi nición de Euler, tenía cero en el límite inferior, por eso dijimos ( operatorname izquierda (z derecha) & gt1 ). Ahora puede elegir cualquier valor para (a ). Weierstrass elige (a = 1 ). Por tanto (1) se convierte en begin Gamma left (z right) & amp = int _ <0> ^ t ^e ^ <-t> dt + int _ ^ < infty> t ^e ^ <-t> dt nonumber & amp = sum _^ < infty> frac < left (-1 right) ^>+ int _ <1> ^ < infty> t ^e ^ <-t> dt tag <2> end

Observe el término (a ^) ahora es solo (1 ) ya que (a = 1 ). La segunda integral anterior ahora se puede integrar directamente. Verifiquemos ahora que la continuación de Euler ( bar < Gamma> left (z right) ) para decir (z = - frac <1> <2> ) da el mismo resultado que la fórmula de Weierstrass. Desde arriba, encontramos que ( bar < Gamma> left (z right) = -2 sqrt < pi> ). La ecuación (2) para (z = - frac <1> <2> ) se convierte en begin bar < Gamma> left (- frac <1> <2> right) = sum _^ < infty> frac < left (-1 right) ^><2> right)> + int _ <1> ^ < infty> t ^ <- frac <3> <2>> e ^ <-t> dt tag <3> end Usando la computadora [ sum _^ < infty> frac < left (-1 right) ^><2> right)> = - 2 sqrt < pi> +2 sqrt < pi> left (1- nombre del operador left (1 right) right) -2 frac <1>] E integración directa [ int _ <1> ^ < infty> t ^ <- frac <3> <2>> e ^ <-t> dt = -2 sqrt < pi> +2 sqrt < pi> operatorname izquierda (1 derecha) + frac <2>] Por tanto (3) se convierte en begin bar < Gamma> left (- frac <1> <2> right) & amp = left (-2 sqrt < pi> +2 sqrt < pi> left (1- nombre del operador left (1 right) right) -2 frac <1> right) + left (-2 sqrt < pi> +2 sqrt < pi> operatorname izquierda (1 derecha) + frac <2> right) & amp = -2 sqrt < pi> end

Que es lo mismo que usar el método de Euler. Comprobemos (z = - frac <2> <3> ). Encontramos arriba que ( bar < Gamma> left (- frac <3> <2> right) = frac <4> <3> sqrt < pi> ) usando el método Euler de continuación analítica . Ahora lo comprobaremos usando el método Weierstrass. La ecuación (2) para (z = - frac <3> <2> ) se convierte en [ bar < Gamma> left (- frac <3> <2> right) = sum _^ < infty> frac < left (-1 right) ^><2> right)> + int _ <1> ^ < infty> t ^ <- frac <5> <2>> e ^ <-t> dt ] Usando la computadora [ sum _^ < infty> frac < left (-1 right) ^><2> right)> = frac <4 sqrt < pi >> <3> - frac <4 sqrt < pi> left (1- nombre del operador left (1 right) right)> <3> + frac <2> <3e> ] Y [ int _ <1> ^ < infty> t ^ <- frac <5> <2 >> e ^ <-t> dt = - frac <4 sqrt < pi> nombre del operador left (1 right)> <3> + frac <4 sqrt < pi >> <3> - frac <2> <3e> ] Por tanto, begin bar < Gamma> left (- frac <3> <2> right) & amp = left ( frac <4 sqrt < pi >> <3> - frac <4 sqrt < pi > left (1- nombre del operador left (1 right) right)> <3> + frac <2> <3e> right) + left (- frac <4 sqrt < pi> operatorname left (1 right)> <3> + frac <4 sqrt < pi >> <3> - frac <2> <3e> right) & amp = frac <4> <3> sqrt < pi> end

Que es lo mismo que usar el método de Euler. Claramente, el método de Euler para la continuación analítica de la función Gamma es más simple de calcular.

( blacksquare ) Fórmula de reflexión de Euler begin Gamma left (x right) Gamma left (1-x right) & amp = int _ <0> ^ < infty> frac <>> <1 + t> dt qquad 0 & ltx & lt1 & amp = frac < pi> < sin left ( pi x right)> end

Donde se utilizó la integración de contorno para derivar lo anterior. Consulte el libro de texto de Mary Boas, página 607, segunda edición, ejemplo 5 para obtener una derivación completa.

( blacksquare ) ( Gamma left (z right) ) tiene singularidades en (z = 0, -1, -2, cdots ) ​​y ( Gamma left (1-z right) ) tiene singularidades en (z = 1,2,3, cdots ) ​​así que en la fórmula de reflexión anterior, los ceros de ( sin left ( pi x right) ) cancelan las singularidades de ( Gamma left (x right) ) cuando se escribe como [ Gamma left (1-x right) = frac < pi> < Gamma left (x right) sin left ( pi x right)> ]

( blacksquare ) Hay otras representaciones para ( Gamma left (x right) ). Uno que usa productos de Euler también es begin Gamma left (z right) & amp = frac <1>Pi _^ < infty> frac < left (1+ frac <1> derecha) ^> <1+ frac > & amp = lim _ frac > final

12 notas de la función zeta de Riemann

( blacksquare ) Dado por ( zeta left (s right) = sum _^ < infty> frac <1><>> ) para ( nombre de operador izquierda (s derecha) & gt1 ). Euler estudió esto y Riemann lo extendió a todo el plano complejo. Entonces, la función zeta de Riemann se refiere a la que tiene la extensión a todo el plano complejo. Euler solo lo miró en la línea real. Tiene un polo en (s = 1 ). Tiene ceros triviales en (s = -2, -4, -6, cdots ) ​​y todos sus ceros no triviales están dentro de la tira crítica (0 & lts & lt1 ) y todos se encuentran en la línea crítica (s = frac <1> <2> ). ( zeta left (s right) ) también se define mediante la fórmula integral [ zeta left (s right) = frac <1> < Gamma left (s right)> int _ <0> ^ < infty> frac <1><>-1> frac <>>dt qquad operatorname left (s right) & gt1 ]

( blacksquare ) La conexión entre ( zeta left (s right) ) números primos está dada por la fórmula del producto de Euler

empezar zeta left (s right) & amp = Pi _

frac <1> <1-p ^ <-s>> & amp = left ( frac <1> <1-2 ^ <-s>> right) left ( frac <1> <1 -3 ^ <-s>> right) left ( frac <1> <1-5 ^ <-s>> right) left ( frac <1> <1-7 ^ <-s>> right) cdots & amp = left ( frac <1> <1- frac <1> <2 ^>> derecha) izquierda ( frac <1> <1- frac <1> <3 ^>> derecha) izquierda ( frac <1> <1- frac <1> <5 ^>> derecha) izquierda ( frac <1> <1- frac <1> <7 ^>> derecha) cdots & amp = izquierda ( frac <2 ^><2^-1> derecha) izquierda ( frac <3 ^><3^-1> derecha) izquierda ( frac <5 ^><5^-1> derecha) izquierda ( frac <7 ^><7^-1> derecha) cdots end

( blacksquare ) ( zeta left (s right) ) la ecuación funcional es

[ zeta left (s right) = 2 ^ pi ^ sin left ( frac < pi s> <2> right) Gamma left (1-s right) zeta left (1-s right) ]

13 notas de funciones complejas

( blacksquare ) Identidades complejas begin left vert z right vert ^ <2> & amp = z bar overline < left ( bar right)> & amp = z overline < left (z_ <1> + z_ <2> right)> & amp = bar _ <1> + bar _ <2> left vert bar right vert & amp = left vert z right vert left vert z_ <1> z_ <2> right vert & amp = left vert z_ <1> right vert left vert z_ <2> right vert operatorname izquierda (z derecha) & amp = frac > <2> nombre de operador left (z right) & amp = frac > <2i> arg left (z_ <1> z_ <2> right) & amp = arg left (z_ <1> right) + arg left (z_ <2> right) final

( blacksquare ) Una función compleja (f left (z right) ) es analítica en una región (D ) si está definida y diferenciable en todos los puntos de (D ). Una forma de verificar la analiticidad es usar las ecuaciones de Cauchy Riemann (CR) (esta es una condición necesaria pero no suficiente). Si (f left (z right) ) satisface CR en todas partes de esa región, entonces es analítico. Sea (f left (z right) = u left (x, y right) + iv left (x, y right) ), entonces estas dos ecuaciones en coordenadas cartesianas son begin frac < u parcial> < parcial x> & amp = frac < parcial v> < parcial y> - frac < parcial u> < parcial y> & amp = frac < parcial v> < parcial x> end

A veces es más fácil utilizar la forma polar de estos. Deje (f left (z right) = r cos theta + i sin theta ), entonces las ecuaciones se convierten en begin frac < u parcial> < r parcial> & amp = frac <1> frac < parcial v> < parcial theta> - frac <1> frac < u parcial> < parcial theta> & amp = frac < parcial v> < parcial r> end

Para recordarlos, piensa en (r ) como (x ) y ( theta ) como (y ).

Apliquemos estos en ( sqrt ) para ver cómo funciona. Dado que (z = re ^) luego (f left (z right) = ) ( sqrt e ^<2> + n pi> ). Esta es una función de varios valores. Un valor para (n = 0 ) y otro para (n = 1 ). El primer paso es convertirlo en un solo valor. Al elegir (n = 0 ) se obtiene el valor principal. Entonces (f left (z right) = sqrt e ^<2>> ). Ahora encontramos los puntos de ramificación. (z = 0 ) es un punto de ramificación. Podemos elegir (- pi & lt theta & lt pi ) y elegir el eje real negativo como el corte de la rama (el otro punto de la rama es (- infty )). Ésta es una opción.

Podríamos haber elegido (0 & lt theta & lt2 pi ) y tener el eje positivo (x ) como el corte de la rama, donde ahora el segundo punto de la rama es (+ infty ) pero en ambos casos, el origen es todavía parte del corte de la rama. Sigamos con (- pi & lt theta & lt pi ).

Dado todo esto, ahora ( sqrt = sqrt e ^<2>> = sqrt left ( cos left ( frac < theta> <2> right) + i sin left ( frac < theta> <2> right) right) ), por lo tanto (u = sqrt cos left ( frac < theta> <2> right) ) y (v = sqrt sin left ( frac < theta> <2> right) ). Por lo tanto ( frac < parcial u> < parcial r> = frac <1> <2> frac <1> < sqrt > cos left ( frac < theta> <2> right), ) y ( frac < parcial v> < parcial theta> = frac <1> <2> sqrt cos left ( frac < theta> <2> right) ) y ( frac < u parcial> < parcial theta> = - frac <1> <2> sqrt sin left ( frac < theta> <2> right) ) y ( frac < parcial v> < parcial r> = frac <1> <2> frac <1> < sqrt > sin left ( frac < theta> <2> right) ). La aplicación de Cauchy-Riemann anterior da begin frac <1> <2> frac <1> < sqrt > cos left ( frac < theta> <2> right) & amp = frac <1> frac <1> <2> sqrt cos left ( frac < theta> <2> right) frac <1> <2> frac <1> < sqrt > cos left ( frac < theta> <2> right) & amp = frac <1> <2> frac <1> < sqrt > cos left ( frac < theta> <2> right) end

Satisfecho. y para la segunda ecuación begin - frac <1> izquierda (- frac <1> <2> sqrt sin left ( frac < theta> <2> right) right) & amp = frac <1> <2> frac <1> < sqrt > sin left ( frac < theta> <2> right) frac <1> <2> frac <1> < sqrt > sin left ( frac < theta> <2> right) & amp = frac <1> <2> frac <1> < sqrt > sin left ( frac < theta> <2> right) end

entonces ( sqrt ) es analítica en la región (- pi & lt theta & lt pi ), y no incluye los puntos de ramificación ni el corte de ramificación.

( blacksquare ) No podemos simplemente decir que (f left (z right) ) es Analítico y parar. Tengo que decir que (f left (z right) ) es analítica en una región o en un punto. Cuando decimos (f left (z right) ) analítica en un punto, nos referimos a analítica en una pequeña región alrededor del punto.

Si (f left (z right) ) se define solo en un punto aislado (z_ <0> ) y no se define en ningún lugar a su alrededor, entonces la función no puede ser analítica en (z_ <0> ) ya que no es diferenciable en (z_ <0> ). También (f left (z right) ) es analítica en un punto (z_ <0> ) si la serie de potencias para (f left (z right) ) se expandió alrededor de (z_ <0 > ) converge a (f left (z right) ) evaluado en (z_ <0> ). Una función compleja analítica significa que es infinitamente muchas veces diferenciable en la región, lo que significa que el límite existe ( lim _ < Delta z rightarrow 0> frac < Delta z> ) y no depende de la dirección.

( blacksquare ) Antes de aplicar las ecuaciones de Cauchy Riemann, asegúrese de que la función compleja se haga primero para que tenga un solo valor.

( blacksquare ) Recuerde que las ecuaciones de Cauchy Riemann son una condición necesaria pero no suficiente para que la función sea analítica. La condición adicional necesaria es que todas las derivadas parciales sean continuas. Es necesario encontrar un ejemplo en el que se satisfaga CR pero no la continuidad en las derivadas parciales. La mayoría de los problemas de HW solo necesitan el CR, pero es bueno estar atento a esta otra condición.

( blacksquare ) Cauchy-Goursat: Si (f left (z right) ) es analítico en y dentro del contorno cerrado (C ) entonces (< displaystyle oint limits _> f izquierda (z derecha) dz = 0 ). Pero recuerda que si (< displaystyle unint limits _> f left (z right) dz = 0 ) entonces esto no implica necesariamente que (f left (z right) ) sea analítico en y dentro de (C ). Entonces esta es una relación IF y no IFF. Por ejemplo, (< displaystyle unción límites _> frac <1>> dz = 0 ) alrededor del círculo unitario centrado en el origen, pero claramente ( frac <1>> ) no es analítico en todas partes dentro de (C ), ya que tiene una singularidad en (z = 0 ).

prueba de Cauchy-Goursat: La prueba utiliza dos ideas principales. Utiliza las ecuaciones de Cauchy-Riemann y también utiliza el teorema de Green. El teorema de Green dice begin En t _Pdx + Qdy = int _ izquierda ( frac < parcial Q> < parcial x> - frac < parcial P> < parcial y> derecha) dA etiqueta <1> end Entonces, el teorema de Green transforma la integración en el límite (C ) de la región (D ) mediante la integración sobre el área dentro del límite (C ). Sea (f left (z right) = u + iv ). Y como (z = x + iy ) entonces (dz = dx + idy ). Por lo tanto begin < Displaystyle pomada límites _> f left (z right) dz & amp = < displaystyle unción límites _> left (u + iv right) left (dx + idy right) nonumber & amp = < displaystyle pomada límites _> udx + uidy + ivdx-vdy nonumber & amp = < displaystyle pomada límites _> izquierda (udx-vdy derecha) + i < estilo de pantalla pomada límites _> vdx + udy tag <2> end

Ahora aplicamos (1) a cada una de las dos integrales en (3). Por lo tanto, la primera integral en (2) se convierte en [< displaystyle oint limits _> izquierda (udx-vdy derecha) = int _ izquierda (- frac < parcial v> < parcial x> - frac < parcial u> < parcial y> derecha) dA ] Pero por CR, sabemos que (- frac < parcial u> < y parcial> = frac < v parcial> < parcial x> ), por lo tanto, lo anterior es cero. Y la segunda integral en (2) se convierte en [< displaystyle oint limits _> vdx + udy = int _ izquierda ( frac < u parcial> < x parcial> - frac < v parcial> < y parcial> derecha) dA ] Pero por CR, sabemos que ( frac < u parcial> < parcial x> = frac < parcial v> < parcial y> ), por lo tanto, lo anterior es cero. Por lo tanto, la integral entera en (2) es cero. Por lo tanto (< displaystyle unción límites _> f izquierda (z derecha) dz = 0 ). QED.

( blacksquare ) Residuo de Cauchy: Si (f left (z right) ) es analítico en y dentro del contorno cerrado (C ) excepto en algunos puntos aislados (z_ <1>, z_ <2> , cdots, z_) luego (< Displaystyle unción límites _> f izquierda (z derecha) dz = 2 pi i sum _^ ombre del operador izquierda (f izquierda (z derecha) derecha) _<>> ). El término ( operatorname izquierda (f izquierda (z derecha) derecha) _<>> ) es el residuo de (f left (z right) ) en el punto (z_). Utilice la expansión de Laurent de (f left (z right) ) para encontrar residuos. Consulte más arriba los métodos para encontrar la serie Laurent.

( blacksquare ) Principio de módulo máximo: Si (f left (z right) ) es analítico en alguna región (D ) y no es constante dentro de (D ), entonces su valor máximo debe ser en el límite. También su mínimo en el límite, siempre que (f left (z right) neq 0 ) en cualquier lugar dentro de (D ). Por otro lado, si (f left (z right) ) tiene un máximo en algún punto (z_ <0> ) en algún lugar dentro de (D ), entonces esto implica que (f left (z right) ) es constante en todas partes y tendrá el valor (f left (z_ <0> right) ) en todas partes. Lo que todo esto realmente significa es que si (f left (z right) ) es analítico y no constante en (D ), entonces su máximo está en el límite y no en el interior.

Hay una prueba complicada de esto. Vea mis notas de Física 501. Con suerte, esto no aparecerá en el examen ya que no estudié la prueba.

( blacksquare ) Estas de fi niciones del libro de Joseph Bak

  1. (f ) es analítica en (z ) si (f ) es diferenciable en una vecindad de (z ). De manera similar, (f ) es analítica en el conjunto (S ) si (f ) es diferenciable en todos los puntos de algún conjunto abierto que contenga (S ).
  2. (f left (z right) ) es analítica en el conjunto abierto (U ) es (f left (z right) ) si es diferenciable en cada punto de (U ) y (f ^ < prime> left (z right) ) es continuo en (U ).

( blacksquare ) Algunas fórmulas importantes.

  1. Si (f left (z right) ) es analítico en y dentro de (C ) entonces [< displaystyle oint limits _> f left (z right) dz = 0 ]
  2. Si (f left (z right) ) es analítico en y dentro de (C ) entonces y (z_ <0> ) es un punto en (C ) entonces begin 2 pi si left (z_ <0> right) & amp = < displaystyle pomada límites _> frac > dz 2 pi if ^ < prime> left (z_ <0> right) & amp = < displaystyle unción límites _> frac < left (z-z_ <0> right) ^ <2>> dz frac <2 pi i> <2!> f ^ < prime prime> left (z_ <0> right ) & amp = < Displaystyle pomada límites _> frac ight ) ^<3>>dz\ & vdots \ frac <2pi i>f ^ < left (n right)> left (z_ <0> right) & amp = < displaystyle unción límites _> frac < izquierda (z-z_ <0> derecha) ^> dz end
  3. De lo anterior, encontramos, donde aquí (f left (z right) = 1 ) [< displaystyle oint limits _> frac <1> < left (z-z_ <0> right) ^> dz = left < begin [C]2 pi i & amp & amp n = 0 0 & amp & amp n = 1,2, cdots end derecho . ]

14 consejos para solucionar algunos problemas

14.1 Análisis complejo y series de potencia y Laurent

  1. La serie Laurent de (f left (z right) ) alrededor del punto (z_ <0> ) es ( sum _^ < infty> a_ left (z-z_ <0> right) ^) y (a_= frac <1> <2 pi i> < displaystyle oint> frac < izquierda (z-z_ <0> derecha) ^> dz ). La integración se realiza alrededor de la ruta que encierra (z_ <0> ) en sentido antihorario.
  2. La serie de potencias de (f left (z right) ) alrededor de (z_ <0> ) es ( sum _ <0> ^ < infty> a_ left (z-z_ <0> right) ^) donde un_= frac <1>izquierda . f ^ < left (n right)> left (z right) right vert _>)
  3. El problema pide usar la fórmula integral de Cauchy (< displaystyle oint limits _> frac > dz = 2 pi if left (z_ <0> right) ) para evaluar otra integral (< displaystyle oint limits _> g left (z right) dz ). Ambos sobre el mismo (C ). La idea es reescribir (g left (z right) ) como ( frac > ) factorizando los polos de (g left (z right) ) que están fuera de (C ) dejando uno dentro de (C ). Entonces podemos escribir begin < Displaystyle pomada límites _> g left (z right) dz & amp = < displaystyle unción límites _> frac > dz & amp = 2 pi if left (z_ <0> right) end

Por ejemplo, para resolver (< displaystyle unint limits _> frac <1> < left (z + 1 right) left (z + 2 right)> dz ) alrededor de (C ) círculo unitario. Reescribiendo esto como (< displaystyle oint limits _> frac < frac <1>> < left (z- left (-1 right) right)> dz ) donde ahora (f left (z right) = frac <1>) y ahora podemos usar la fórmula integral de Cauchy. Entonces, todo lo que tenemos que hacer es evaluar ( frac <1>) en (z = -1 ), lo que da (< displaystyle unción límites _> frac <1> < left (z + 1 right) left (z + 2 right)> dz = 2 pi i ). Esto funciona si (g left (z right) ) se puede factorizar en ( frac > ) donde (f left (z right) ) es analítica en y dentro de (C ). Esto no funcionaría si (g left (z right) ) tiene más de un polo dentro de (C ).

donde ( left (x_ <0>, y_ <0> right) ) en el punto inicial de la línea y ( left (x_ <1>, y_ <1> right) ) es el punto final de la línea . Esto funciona para líneas rectas. Ahora usa lo anterior y reescribe (z = x + iy ) como (z left (t right) = x left (t right) + iy left (t right) ) y luego conecta- adentro en este (z left (t right) ) en (f left (z right) ) para obtener (f left (t right) ), entonces la integral se convierte en [ En t _f izquierda (z derecha) dz = int _^f left (t right) z ^ < prime> left (t right) dt ] Y ahora evalúe esta integral usando las reglas de integración normales. Si la ruta es un arco circular, entonces no es necesario usar (t ), solo use ( theta ). Reescribe (x = re ^) y use ( theta ) en lugar de (t ) y siga los mismos pasos que antes.

Pero si (h left (z_ <0> right) = 0 ) entonces necesitamos aplicar La’Hopital así. Si (f left (z right) = frac < sin z> <1-z ^ <4>> ) y queremos encontrar un residuo en (z = i ). Luego haz lo anterior, pero con un paso adicional, como este begin R izquierda (i derecha) & amp = lim _ left (z-i right) frac < sin z> <1-z ^ <4>> & amp = left ( lim _ sin z right) left ( lim _ left (z-i right) frac <1> <1-z ^ <4>> right) & amp = sin i left ( lim _ frac < left (z-i right)> <1-z ^ <4>> right) qquad text & amp = sin i left ( lim _ frac <1> <-4z ^ <3>> right) & amp = frac < sin i> <- 4i ^ <3>> & amp = frac <1> <4> sinh izquierda (1 derecha) end

Ahora bien, si el polo no es un polo simple o de orden uno, digamos de orden (m ), entonces primero multiplicamos (f left (z right) ) por ( left (z-z_ <0 > derecha) ^) luego diferenciar el resultado (m-1 ) veces, luego dividir por ( left (m-1 right)! ), y luego evaluar el resultado en (z = z_ <0>. ) en otras palabras, [R left (z_ <0> right) = lim _> frac <1> < left (m-1 right)!> frac <>><>> left ( left (z-z_ <0> right) ^f left (z right) right) ] Por ejemplo, si (f left (z right) = frac < left (z- pi right) ^ <3>> ) y queremos un residuo en (z = pi ). Dado que el orden es (m = 3 ), entonces begin R izquierda (z_ <0> derecha) & amp = lim _ frac <1> <2!> frac >> left ( left (z- pi right) ^ <3> frac < left (z- pi right) ^ <3>> right) & amp = lim _ frac <1> <2> frac >> izquierda (z sin z derecha) & amp = lim _ frac <1> <2> left (-z sin z + 2 cos z right) & amp = -1 end

Los métodos anteriores funcionarán en la mayoría de los problemas de hardware que he visto hasta ahora, pero si todo lo demás falla, pruebe la serie Laurent, que siempre funciona.

14.2 Errores y errores relativos

    Un problema da una expresión en (x, y ) como (f left (x, y right) ) y pregunta cuánto será un error relativo tanto en (x ) como en (y ) a ff ect (f left (x, y right) ) en el peor de los casos. Para estos problemas, busque (df ) y luego encuentre ( frac ). Por ejemplo, si (f left (x, y right) = sqrt < frac >> ) y el error relativo está en (x ) y (y ) es (2 \% ) entonces, ¿cuál es el peor error relativo en (f left (x, y right)? ) . Entonces, desde begin df & amp = frac < parcial f> < parcial x> dx + frac < parcial f> < parcial y> dy & amp = frac <1> <2> x ^ <- frac <1> <2>> b ^ <- frac <3> <2>> dx- frac <3> <2> x ^ < frac <1> <2>> y ^ <- frac <5> <2 >> dy end

Entonces [ frac = frac <1> <2> frac - frac <3> <2> frac ] Pero ( frac ) y ( frac ) son los errores relativos en (x ) y (y ). Entonces, si conectamos (2 ) para ( frac ) y (- 2 ) para ( frac ) obtenemos (4 \% ) es el peor error relativo en (f left (x, y right) ). Observe que usamos (- 2 \% ) error relativo para (y ) y (+ 2 \% ) error relativo para (x ) ya que queríamos el peor (mayor) error relativo. Si quisiéramos el menor error relativo en (f left (x, y right) ), entonces usaremos (+ 2 \% ) para (y ) también, lo que da (1-3 = -2 ) o (2 \% ) error relativo en (f left (x, y right) ).

15 Algunas notas CAS

( blacksquare ) en Mathematica Exp es un símbolo. Head [Exp] da Symbol pero en Maple no lo es.


2.3E: Ejercicios - Matemáticas

Puedo resolver problemas que involucran secuencias y series aritméticas y geométricas con una variedad de información.

Puedo usar una variedad de palabras, símbolos y notación para describir o encontrar la suma de una serie o resolver problemas de secuencia.

Completo Revisión del conjunto 2C en las páginas 91-92 y verifique las respuestas en la pág. 700

¡Estudie para el examen del capítulo dos mañana!

Puedo resolver problemas que involucran secuencias y series aritméticas y geométricas con una variedad de información.

Puedo usar una variedad de palabras, símbolos y notación para describir o encontrar la suma de una serie o resolver problemas de secuencia.

Estudiar para el examen del Capítulo 2 VOLVER A TOMAR ¡si necesario!

Puedo escribir un producto de factores usando notación de índice.

Puedo evaluar potencias de números con bases o exponentes positivos o negativos.

Puedo entender una variedad de símbolos y palabras que involucran potencias, bases, índice, exponente, positivo, negativo, numerador, denominador, etc.

Capítulo tres: Exponenciales

Lección 3A: Notación de índice

Lección 3B: Evaluación de poderes

WAAST IB Matemáticas SL Sra. Hanson Semana 13 Del 21 al 22 de noviembre de 2011

Objetivo de aprendizaje

Destino de idioma

Puedo mostrar que una secuencia es aritmética O geométrico, encuentra la fórmula para el término general, encuentra cualquier término de una secuencia y determina si un número es miembro de una secuencia.

Entiendo una variedad de palabras y símbolos que describen un aritmética O geométrico secuenciar y comunicar mi comprensión escrita con palabras y símbolos.

Revise la hoja de trabajo de preguntas del examen del IB n. ° 1-5

Repase los ejercicios del

Puedo usar conceptos de interés compuesto para calcular el monto de una inversión después de un período de tiempo fijo, una tasa de interés porcentual o la cantidad de tiempo para que la inversión alcance un monto fijo.

Puedo entender cómo aplicar tasas de interés compuestas, sus componentes y otras aplicaciones de secuencia geométrica.

Responde las preguntas restantes de los ejercicios del conjunto de revisión.

Comenzar aplicaciones de secuencias

2D.1: Interés compuesto

WAAST IB Matemáticas SL Sra. Hanson Semana 12 14 al 18 de noviembre de 2011

Objetivo de aprendizaje

Destino de idioma

Puedo reconocer un patrón en un conjunto de números, describir el patrón con palabras y continuar el patrón.

Puedo describir un patrón en un conjunto de números usando palabras y símbolos.

Repase la prueba del capítulo uno sobre funciones

Puedo entender un patrón dado al enumerar términos, usar palabras, usar una fórmula explícita y usar una representación pictórica o gráfica.

Puedo describir un patrón en un conjunto de números usando palabras y símbolos.

Repase la tarea de la Lección 2A

Secuencias de números

Puedo mostrar que una secuencia es aritmética, encuentra la fórmula para el término general, encuentra cualquier término de una secuencia y determina si un número es miembro de una secuencia.

Entiendo una variedad de palabras y símbolos que describen un aritmética secuenciar y comunicar mi comprensión escrita con palabras y símbolos.

Repase la tarea de la Lección 2B

Secuencias aritméticas

Puedo mostrar que una secuencia es geométrico, encuentra la fórmula para el término general, encuentra cualquier término de una secuencia y determina si un número es miembro de una secuencia.

Entiendo una variedad de palabras y símbolos que describen un geométrico secuenciar y comunicar mi comprensión escrita con palabras y símbolos.

Repase la tarea de la Lección 2C

Secuencias geométricas

Puedo mostrar que una secuencia es aritmética O geométrico, encuentra la fórmula para el término general, encuentra cualquier término de una secuencia y determina si un número es miembro de una secuencia.

Entiendo una variedad de palabras y símbolos que describen un aritmética O geométrico secuenciar y comunicar mi comprensión escrita con palabras y símbolos.

Repase la tarea de la lección 2D.1

Secuencias aritméticas y geométricas

WAAST IB Matemáticas SL Sra. Hanson Semana 11 7 al 10 de noviembre de 2011

Objetivo de aprendizaje

Destino de idioma

Puedo discutir las características de una función recíproca.

Determina si una función tiene una inversa y, si es así, puedo encontrarla.

Puedo entender qué es un recíproco y qué son las funciones inversas y cómo encontrarlas.

Puedo determinar si una relación es una función, usar la notación de funciones para evaluar y resolver ecuaciones y componer funciones, establecer el dominio y rango de una relación, crear un diagrama de signos para un gráfico, discutir las características de una función recíproca y encontrar el inversa de una función.

Puedo usar notación de funciones y palabras técnicas para describir funciones.

Entiendo el significado de palabras técnicas como relación, función, dominio, rango, asíntota, intersección, recíproco e inverso.

Páginas 65-68 y comprobar respuestas

Consulte el objetivo de aprendizaje del martes 11/08

Consulte el idioma objetivo del martes 11/08

Páginas 65-68 y comprobar respuestas

Consulte el objetivo de aprendizaje del martes 11/08

Consulte el idioma objetivo del martes 11/08

Conjunto completo de preguntas del examen IB sobre las funciones del capítulo 1

WAAST IB Matemáticas SL Sra. Hanson Semana 10 31 de octubre - 4 de noviembre de 2011

Objetivo de aprendizaje

Destino de idioma

Puedo encontrar la composición de dos funciones, dibujar diagramas de signos para funciones y analizar gráficos de funciones recíprocas.

Puedo comunicar mi conocimiento por escrito sobre el signo y asíntota de una gráfica usando palabras y símbolos.

* Pegar la agenda semanal en el cuaderno

* Repase las lecciones D y E, estudie mañana para el cuestionario 1 D-F

* Lea y tome notas en la página 60, Lección F: La función recíproca

* Salir de Slip en los ejercicios 1E

Puedo encontrar la composición de dos funciones, dibujar diagramas de signos para funciones y analizar gráficos de funciones recíprocas.

Puedo comunicar mi conocimiento por escrito sobre el signo y asíntota de una gráfica usando palabras y símbolos.

* Complete el formulario de comportamiento del estudiante y envíelo al maestro.

* Envíe el cuaderno de composición de gráficos a la carpeta del portafolio.

Complete la Investigación 1: Funciones de llenado de líquido en la página 54 del libro de texto mientras cumple con los Criterios de calificación de la evaluación interna y envíela por correo electrónico a [email protected] antes de las 9 pm esta noche.

Puedo determinar las ecuaciones de las asíntotas, discutir el comportamiento de la función a medida que se acerca a la asíntota, encontrar intersecciones de ejes y graficar funciones recíprocas.

Puedo entender qué es una función recíproca y sus características.

* Lección 1G: Asíntotas de otras funciones racionales

Estudie para el examen del capítulo uno: funciones el miércoles 9 de noviembre

Matemáticas WAAST Sra. Hanson Matemáticas IB SL Semana 8 17 al 21 de octubre de 2011

Puedo entender la notación utilizada en el libro de texto y en mi calculadora para realizar una variedad de tareas.

Estoy familiarizado con la sección de supuestos conocimientos en mi hoja de fórmulas.

Entiendo los diferentes símbolos e indicaciones que se utilizan en el libro de texto, la calculadora y la hoja de fórmulas para realizar una variedad de tareas.

10-11: Símbolos y notación utilizados en este libro y hoja de fórmulas

12-15: Conocimientos previos y hechos geométricos

16-44: Instrucciones de la calculadora gráfica

Lea las páginas 10 a 44 del libro de texto y dedique tiempo a revisar contenido desconocido.

Vista previa del capítulo uno: Funciones

Puedo determinar si una gráfica, un conjunto de puntos o una ecuación describe una función o relación.

Puedo comprender el significado de una relación y una función.

Puedo usar la notación de conjuntos para describir una función y evaluarla para diferentes valores.

Puedo entender el significado de la notación de conjuntos, su utilidad.

Puedo determinar el dominio y rango de una relación o función.

Puedo entender el significado de dominio y rango.

Puedo escribir un breve informe sobre la conexión entre la forma de una embarcación y la forma correspondiente de su gráfico de profundidad-tiempo.

Puedo comprender las expectativas de la evaluación interna y comunicar mi comprensión en un informe escrito.

Funciones de llenado de fluido en

Criterios de calificación de la evaluación interna (IA)

Complete la Investigación 1: Funciones de llenado de fluidos en la página 54 del libro de texto mientras cumple con los Criterios de calificación de la evaluación interna.

Envíe el informe por correo electrónico a [email protected] antes del martes 25 de octubre.

WAAST Mathematics SL Sra. Hanson Semana 7 10-13 de octubre de 2011

Puedo encontrar las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos que faltan de los objetos creando un triángulo rectángulo con el objeto y luego usando el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Puedo entender el significado de las palabras "isósceles", "tangente", "cuerda", "ángulo de elevación", "ángulo de depresión", "altitud".

Lección BK N.5: Trigonometría de triángulo rectángulo, resolución de problemas mediante trigonometría

Puedo encontrar las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos que faltan de los objetos creando un triángulo rectángulo con el objeto y luego usando el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Puedo entender el significado de las palabras "isósceles", "tangente", "cuerda", "ángulo de elevación", "ángulo de depresión", "altitud".

Lección BK N.5: Trigonometría de triángulo rectángulo, resolución de problemas mediante trigonometría

Puedo encontrar las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos que faltan de los objetos creando un triángulo rectángulo con el objeto y luego usando el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Puedo entender el significado de las palabras "isósceles", "tangente", "cuerda", "ángulo de elevación", "ángulo de depresión", "altitud".

Cuestionario sobre la lección N: trigonometría triangular en ángulo recto

Estudie las secciones en las que le gustaría volver a tomar las pruebas mañana

Puedo encontrar las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos que faltan de los objetos creando un triángulo rectángulo con el objeto y luego usando el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Puedo entender el significado de las palabras "isósceles", "tangente", "cuerda", "ángulo de elevación", "ángulo de depresión", "altitud".

Repetir una prueba o examen, revisar el contenido hasta este punto, obtener una vista previa de las páginas 12 a 44 del libro de texto y revisar la hoja de fórmulas

Estudie las secciones en las que le gustaría volver a tomar las pruebas

Prepárese para el Capítulo Uno: Funciones

WAAST Mathematics SL Sra. Hanson Semana 5 26-30 de septiembre de 2011

Puedo encontrar la distancia, el punto medio y la pendiente dados dos puntos o una gráfica. Puedo escribir ecuaciones de rectas (en una variedad de formas con diferente información) y ecuaciones de rectas y círculos tangentes.

Puedo entender el significado de las palabras 'distancia', 'punto medio', 'gradiente' o 'pendiente', 'paralelo', 'perpendicular', 'intercepción', 'gradiente', 'horizontal', 'vertical', 'tangente 'y' círculo '.

¡Repase y complete estos ejercicios que deberían haberse completado la semana pasada!

Puedo encontrar la distancia, el punto medio y la pendiente dados dos puntos o una gráfica. Puedo escribir ecuaciones de rectas (en una variedad de formas con diferente información) y ecuaciones de rectas y círculos tangentes.

Puedo entender el significado de las palabras 'distancia', 'punto medio', 'gradiente' o 'pendiente', 'paralelo', 'perpendicular', 'intercepción', 'gradiente', 'horizontal', 'vertical', 'tangente 'y' círculo '.

¡Repase y complete estos ejercicios que deberían haberse completado la semana pasada!

Puedo encontrar la distancia entre dos puntos, la coordenada del punto medio, la pendiente de una línea y determinar si dos líneas son perpendiculares, paralelas o ninguna.

Puedo entender el significado de las palabras "distancia", "punto medio", "gradiente" o "pendiente", "paralelo" y "perpendicular".

Cuestionario sobre las lecciones M

Puedo escribir la ecuación de una línea dada a.) El gradiente y un punto, y b.) Dos puntos. Puedo escribir la ecuación de una línea en forma de intersección de gradiente o en forma general. Puedo usar métodos gráficos para encontrar dónde se cruzan dos líneas.

Puedo entender el significado de las palabras "interceptar", "gradiente", "horizontal" y "vertical".

Puedo encontrar la distancia, el punto medio y la pendiente dados dos puntos o una gráfica. Puedo escribir ecuaciones de rectas (en una variedad de formas con diferente información) y ecuaciones de rectas y círculos tangentes.

Puedo entender el significado de las palabras 'distancia', 'punto medio', 'gradiente' o 'pendiente', 'paralelo', 'perpendicular', 'intercepción', 'gradiente', 'horizontal', 'vertical', 'tangente 'y' círculo '.

¡Repase y complete estos ejercicios que deberían haberse completado la semana pasada! ¡Estudie para volver a tomar la Prueba M el lunes!

WAAST Mathematics SL Sra. Hanson Semana 4 19 al 22 de septiembre de 2011

Puedo determinar si dos o más figuras geométricas son congruentes, usando las reglas SSS, SAS, AAS o RHS.

Puedo entender qué significan las abreviaturas SSS, SAS, AAS y RHS y cómo usar estas reglas. Puedo entender la diferencia entre congruente y similar.

Congruencia y similitud

Puedo usar el teorema de Pitágoras para resolver partes de un triángulo rectángulo en problemas bidimensionales y tridimensionales.

Puedo entender las palabras que se usan para describir partes de un triángulo rectángulo, como "pierna" y "hipotenusa", y "conversar”.

Estudiar para un cuestionario sobre las lecciones I-L el miércoles

Puedo encontrar la distancia entre dos puntos, la coordenada del punto medio, la pendiente de una línea y determinar si dos líneas son perpendiculares, paralelas o ninguna.

Puedo entender el significado de las palabras "distancia", "punto medio", "gradiente" o "pendiente", "paralelo" y "perpendicular".

Cuestionario sobre las lecciones I-L

Puedo escribir la ecuación de una línea dada a.) El gradiente y un punto, y b.) Dos puntos. Puedo escribir la ecuación de una línea en forma de intersección de gradiente o en forma general. Puedo usar métodos gráficos para encontrar dónde se cruzan dos líneas.

Puedo entender el significado de las palabras "interceptar", "gradiente", "horizontal" y "vertical".

Puedo escribir ecuaciones de rectas tangentes y ecuaciones de círculos.

Puedo entender el significado de las palabras "tangente" y "círculo".

WAAST Mathematics SL Sra. Hanson Semana 3 12 al 16 de septiembre de 2011

Puedo factorizar cualquier expresión cuadrática, usando una variedad de métodos.

Puedo entender el significado del término matemático "factorizar".

Lección BK H: Factorización

Cuestionario sobre las lecciones G-H durante el enriquecimiento

Repase la lección G-H y prepárese para volver a tomarla si es necesario

Puedo reorganizar fórmulas para una variedad de variables.

Puedo entender las solicitudes de instrucciones de "convertir una variable en el tema de otra" o "escribir la fórmula en términos de una variable específica".

Puedo sumar y restar fracciones algebraicas creando un mínimo común denominador.

Puedo entender el significado de un mínimo común denominador y lo que significa que una fracción esté en su forma más simple o como una sola fracción.

Sumar y restar fracciones algebraicas

Puedo determinar si dos o más figuras geométricas son congruentes, usando las reglas SSS, SAS, AAS o RHS.

Puedo entender qué significan las abreviaturas SSS, SAS, AAS y RHS y cómo usar estas reglas. Puedo entender la diferencia entre congruente y similar.

Congruencia y similitud

Puedo usar el teorema de Pitágoras para resolver partes de un triángulo rectángulo en problemas bidimensionales y tridimensionales.

Puedo entender las palabras que se usan para describir partes de un triángulo rectángulo, como "pierna" y "hipotenusa", y "conversar”.

Estudiar para un cuestionario sobre las lecciones I-L el lunes

WAAST Mathematics SL Sra. Hanson Semana 2 6 al 9 de septiembre de 2011

Podré simplificar expresiones combinando términos semejantes y usando reglas de potencia. Podré resolver ecuaciones lineales y desigualdades con una o dos variables. Podré evaluar expresiones de valor absoluto y resolver ecuaciones.

Entenderé palabras que son indicaciones para realizar operaciones como "simplificar" o "resolver". Entenderé el concepto de valor absoluto y seré capaz de expresarlo geométrica y algebraicamente. Entenderé el significado del término matemático "expandir".

Lección BK D: Simplificación algebraica

Lección BK E: Ecuaciones lineales y desigualdades Lección BK F: Módulo o valor absoluto

Podré expandir y simplificar expresiones y ecuaciones cuadráticas.

Entenderé el significado del término matemático "expandir".

Cuestionario sobre las lecciones A-F

Lección BK G: Expansión del producto

Podré factorizar cualquier expresión cuadrática, usando una variedad de métodos.

Entenderé el significado del término matemático "factorizar".

Lección BK H: Factorización

Podré reorganizar fórmulas para una variedad de variables.

Entenderé las solicitudes de instrucciones de "convertir una variable en el tema de otra" o "escribir la fórmula en términos de una variable".

Cuestionario sobre las lecciones G-H

Lección I: Reordenamiento de fórmulas

WAAST Mathematics SL Sra. Hanson Semana 1 30 de agosto-2 de septiembre de 2011

Entenderé el contenido del programa de estudios: materiales, expectativas y calificación del curso.

Escucharé atentamente, seguiré instrucciones habladas y escritas y haré preguntas.

Bienvenidos a las actividades escolares

Lección BK A: Surds y Radical

Revise, discuta y firme el programa de estudios con su tutor y devuélvalo antes del viernes 09/02

Entenderé cómo escribir números en notación científica y en formas decimales ordinarias indistintamente.

Entenderé palabras matemáticas (científicas, decimales, de potencia, etc.) que me den instrucciones.

Lección BK B: Notación científica

Usaré letras para representar conjuntos de números y usaré símbolos para agrupar conjuntos.

Entenderé el significado de las palabras para describir conjuntos de números y operaciones.

Lección BK C: Sistemas numéricos y notación de conjuntos

Podré simplificar expresiones combinando términos semejantes y usando reglas de potencia. Podré resolver ecuaciones lineales y desigualdades con una o dos variables. Podré evaluar expresiones de valor absoluto y resolver ecuaciones.

Entenderé palabras que son indicaciones para realizar operaciones como "simplificar" o "resolver". Entenderé el concepto de valor absoluto y seré capaz de expresarlo geométrica y algebraicamente. Entenderé el significado del término matemático "expandir".


2.3E: Ejercicios - Matemáticas

La forma a + b yo se llama la forma de coordenadas rectangulares de un número complejo porque para trazar el número imaginamos un rectángulo de ancho a y altura B, como se muestra en el gráfico de la sección anterior.

Pero los números complejos, al igual que los vectores, también se pueden expresar en forma de coordenadas polares, r & ang y theta . (Esto se dice como & ldquor en ángulo y theta & rdquo.) La figura de la derecha muestra un ejemplo. El número r delante del símbolo del ángulo se llama magnitud del número complejo y es el distancia del número complejo desde el origen. El ángulo y theta después del símbolo del ángulo es el dirección del número complejo desde el origen medido en sentido antihorario desde la parte positiva del eje real.

Conversión rectangular polar y rarr

Conversión polar rectangular y rarr

Solución: Tenemos r = 5 y y theta = 53 & deg. Nosotros calculamos a = 5 cos (53 & deg) = 3 y B = 5 sin (53 & deg) = 4, por lo que el número complejo en forma rectangular debe ser 3 + 4 I.


Ejemplo: Convertir el número complejo 5 + 2 I a la forma polar.

Solución: Tenemos a = 5 y B = 2. Calculamos

por lo que el número complejo en forma polar debe ser 5.39 & ang 21.8 & deg.


Ejemplo: Convierta el número complejo y menos5 y menos 2 I a la forma polar.

Solución: Tenemos a = & minus5 y B = & menos2. Nosotros calculamos

cual es exactamente la misma respuesta que en el ejemplo anterior! ¿Qué salió mal? La respuesta es que la función arctan siempre devuelve un ángulo en el primer o cuarto cuadrante y necesitamos un ángulo en el tercer cuadrante. Entonces debemos agregar 180 & deg al ángulo manualmente. Por lo tanto, el número complejo en forma polar debe ser 5.39 & ang 201.8 & deg.

Multiplicar y dividir números complejos en forma polar

Los números complejos en forma polar son especialmente fáciles de multiplicar y dividir. Las reglas son:

    Regla de multiplicación: Para formar el producto, multiplica las magnitudes y suma los ángulos.


Ejemplo: dividir 15 & ang 32 & deg por 3 & ang 25 & deg


Ejemplo: dividir 5 + 3 I por 2 y menos 4 I

Simplemente por diversión, convertimos ambos números a forma polar (con ángulos en radianes), luego hicimos la división en polar y luego convertimos el resultado de nuevo a forma rectangular.

Números complejos en forma exponencial

Observe que en la forma exponencial no necesitamos nada más que las propiedades familiares de los exponentes para obtener el resultado de la multiplicación. Eso es mucho más agradable que la forma polar donde tenemos que introducir reglas extrañas sobre multiplicar longitudes y sumar ángulos.

Prueba de que r & ang y theta = r e yo y theta

Se debe a Leonard Euler y muestra que existe una conexión profunda entre el crecimiento exponencial y las oscilaciones sinusoidales. Para demostrarlo, necesitamos una forma de calcular el seno, coseno y exponencial de cualquier valor de y theta como lo hace una calculadora. La serie de Taylor ofrece una forma.

La serie Taylor para ex es:

Ahora observe que los términos en los primeros corchetes son solo la serie de Taylor para cos (y theta) y que los términos en el segundo paréntesis son solo la serie de Taylor para pecado (y theta). Por lo tanto, hemos convertido el lado izquierdo de la fórmula de Euler & rsquos para leer cos (y theta) + I pecado(y theta) que es igual al lado derecho de la fórmula de Euler & rsquos. Esto finaliza la prueba de la fórmula de Euler & rsquos.


Ahora que tenemos la fórmula de Euler & rsquos, es fácil demostrar que r & ang y theta = r e yo y theta . Nuevamente manipularemos el lado izquierdo hasta que sea igual al lado derecho. Primero, convierta el lado izquierdo a forma rectangular:

El resultado es que hemos convertido el lado izquierdo para que sea igual al lado derecho. Esto prueba que r & ang y theta = r e yo y theta

Ejemplos que utilizan formas rectangulares, polares y exponenciales

Al hacer cálculos con números complejos, ¿qué forma debería usar? En términos generales, use la forma rectangular para sumar y restar, la forma polar para multiplicar y dividir y la forma exponencial para exponenciar o manipular expresiones literales. Aquí hay unos ejemplos.


Ejemplo 1: Muestra esa mi I & pi = & minus1. Esto se conoce como identidad de Euler & rsquos.

Solución: Simplemente conviértalo a polar y luego a rectangular:


Ejemplo 2: Calcular en por norte = 1, 2, 3 y hellip, traza los números en el plano complejo y localiza el patrón.


Ejemplo 3: Evalúa la exponencial (3 + 4 I) (6 + 7 I)

Solución: Realice las siguientes manipulaciones:

Convierte la base a forma exponencial. Recuerde que el ángulo debe estar en radianes. La base ahora contiene dos factores.
Aplicar la propiedad de los exponentes
(a b) m = a m & middot b m .
Aplicar la propiedad de los exponentes
b m + n = b m & middot b n .
Mueva los factores reales al frente y evalúelos.
Cambie la base de 5 a mi usando la identidad
5 = mi En (5).
Combina los exponentes y evalúa.
Expresa la respuesta en forma exponencial, polar o rectangular.

Muchas leyes e identidades trigonométricas son fáciles de probar con números complejos expresados ​​en forma polar. Entre ellos se encuentran las leyes del seno y el coseno, la suma de las identidades trigonométricas de los ángulos y la fórmula de De Moivre & rsquos.

Prueba de las leyes del seno y el coseno.

Esta prueba usa el conjugado complejo, denotado z*.

Recuerda que si z = a + b yo es un número complejo expresado en coordenadas rectangulares, entonces z* = a & ndash b yo.

En general, para obtener el complejo conjugado de cualquier expresión compleja solo cambia cada I en la expresión to & ndashI y cambia todos los ángulos y theta para & ndashy theta. El conjugado complejo es útil porque:

La figura de la derecha muestra tres números complejos (las flechas rojas) que satisfacen la relación

Este es el ley del coseno, C 2 = a 2 + B 2 y menos 2 a B porque y theta.

Cuál es el ley del seno.

Prueba de la identidad de suma de ángulos sin (& theta + & phi) = sin (& theta) & middotcos (& phi) + cos (& theta) & middotsin (& phi).

Expanda el LHS y simplifique.

La equiparación de partes imaginarias da la identidad de suma de ángulos para el seno. La equiparación de partes reales da la identidad de suma de ángulos para cos.

Fórmula de Moivre & rsquos

Una aplicación de la fórmula de De Moivre & rsquos es probar las identidades de ángulos múltiples dobles, triples y superiores. Por ejemplo, comience con (1 & angy theta ) y middot (1 y angy theta ) = 1 & ang (2 y theta ) y convertir a rectangular.

Expanda el LHS y simplifique.

Igualar partes imaginarias da la identidad de doble ángulo para el pecado y equiparar partes reales da la identidad de doble ángulo para el coseno.

La fórmula de DeMoivre & rsquos también se puede utilizar para encontrar la norte th raíces de cualquier número complejo r& angy theta (más precisamente, se puede utilizar para resolver la ecuación z n = r& angy theta, dónde norte es un número entero positivo, por z). Existen norte raíces en todos. Una raíz (llamada raíz principal) se puede encontrar tomando el norte la raíz de la longitud y uno-norte th del ángulo. Así es r 1/norte & ang (y theta /norte). El otro norte & ndash 1 raíces se distribuyen uniformemente en un círculo alrededor del origen en el plano complejo. Esta distribución uniforme garantiza que todos produzcan lo mismo norte th poder.

Por ejemplo, dejemos que & rsquos encuentre las raíces cúbicas de 8 (es decir, que & rsquos resuelva la ecuación z 3 = 8 para z). Escribe 8 como 8 & ang0 & deg. La raíz cúbica principal es 8 1/3 & ang (0 & deg / 3) o 2 & ang0 & deg o 2. Ahora distribuya las tres raíces uniformemente en un círculo alrededor del origen como lo ilustran los puntos rojos en la figura. Podemos verificar que son raíces cúbicas de 8 cubriéndolas usando el teorema de De Moivre y rsquos:


Si encontró esta página en una búsqueda en la web, ganó & rsquot ver el
Tabla de contenido en el cuadro de la izquierda.
Haga clic aquí para mostrarlo.


BestMaths en línea

3. Dada una variable aleatoria Z con valor esperado E (Z) = 3 y varianza VAR (Z) = 2, encuentre lo siguiente:

4. En un juego de DrawBall, se extraen dos bolas sin reemplazo de una bolsa que contiene 4 bolas verdes y 5 bolas rojas. El jugador recibe $ 12 por cada bola verde extraída y $ 6 por cada bola roja extraída.

(i) Dibuje un árbol de probabilidad para mostrar los resultados del juego.

(ii) Si la variable aleatoria W = cantidad ganada en el juego, elabore una tabla de distribución de probabilidad y, por lo tanto, encuentre el valor esperado y la varianza de W.

(iii) Cuesta $ 16 jugar un juego de DrawBall. Si la variable aleatoria Z = beneficio de un juego, calcule la media y la varianza de Z.

(iv) ¿Es Drawball un juego limpio? Explica tu respuesta.

5. X es una variable aleatoria con E (X) = 2 y VAR (X) = 3.

una. Encuentre la media de la variable aleatoria 2X + 5.

B. Encuentre la varianza de la variable aleatoria 2X + 5.


2.3E: Ejercicios - Matemáticas

Puede ser necesario en un programa utilizar funciones matemáticas comunes como el seno, la raíz cuadrada o el logaritmo de un número. Hay algunos métodos estándar que proporciona Java para hacer esto de forma sencilla. Para calcular y = x 2 es más fácil usar la expresión y = x * x, sin embargo, para potencias más altas de x esto es incómodo, por lo que en general y = x n se calcula usando y = Math.pow (x, n).

Los valores o variables colocados entre corchetes, (), se conocen como argumentos.

Existen estos métodos útiles que proporcionan funciones matemáticas: Excepto Math.abs (), todas estas funciones matemáticas dan valores de resultado de tipo double. También todos toman variables o valores dobles como argumentos; tanto x como n en lo anterior son variables dobles. Tenga en cuenta que Math.pow () requiere dos argumentos, mientras que Math.random () no requiere ninguno, aunque los corchetes aún deben incluirse. Usar Math.abs () es ligeramente diferente: usarlo en una variable flotante dará un valor flotante, en una variable int devolverá un valor int, etc.

Tenga en cuenta que todas las funciones trigonométricas funcionan en radianes.

Escriba un programa que lea un valor para un ángulo desde el teclado, calcule y escriba el seno y el coseno y, como verificación, el valor de sin 2 x + cos 2 x para ese ángulo. El valor de sen 2 x + cos 2 x, por supuesto, debe estar muy cerca de 1. En su cuaderno de laboratorio, registre los resultados de ingresar los ángulos 3.5 y 2.3e-3. Debe utilizar variables de tipo double e incluir todas las cifras significativas en su respuesta escrita. Pegue una copia impresa de su programa en su cuaderno de laboratorio.


2.3E: Ejercicios - Matemáticas

En esta sección veremos el primer método que se puede usar para encontrar una solución particular a una ecuación diferencial no homogénea.

[y '' + p left (t right) y '+ q left (t right) y = g left (t right) ]

Una de las principales ventajas de este método es que reduce el problema a un problema de álgebra. El álgebra puede complicarse en ocasiones, pero para la mayoría de los problemas no será muy difícil. Otra cosa buena de este método es que la solución complementaria no se requerirá explícitamente, aunque como veremos, será necesario conocer la solución complementaria en algunos casos y, por lo tanto, generalmente también la encontraremos.

Este método tiene dos desventajas. Primero, solo funcionará para una clase bastante pequeña de (g (t) ) 's. La clase de (g (t) ) para la que funciona el método incluye algunas de las funciones más comunes; sin embargo, existen muchas funciones para las que los coeficientes indeterminados simplemente no funcionan. En segundo lugar, generalmente solo es útil para ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes.

El método es bastante sencillo. Todo lo que tenemos que hacer es mirar (g (t) ) y adivinar la forma de (Y_

(t) ) dejando los coeficientes indeterminados (y de ahí el nombre del método). Inserte la suposición en la ecuación diferencial y vea si podemos determinar los valores de los coeficientes. Si podemos determinar valores para los coeficientes, entonces lo adivinamos correctamente, si no podemos encontrar valores para los coeficientes, entonces lo adivinamos incorrectamente.

Por lo general, es más fácil ver este método en acción que intentar describirlo, así que veamos algunos ejemplos.

El punto aquí es encontrar una solución particular, sin embargo, lo primero que vamos a hacer es encontrar la solución complementaria a esta ecuación diferencial. Recuerde que la solución complementaria proviene de resolver,

La ecuación característica de esta ecuación diferencial y sus raíces son.

La solución complementaria es entonces,

En este punto, la razón para hacer esto primero no será evidente, sin embargo, queremos que tenga el hábito de encontrarla antes de comenzar el trabajo para encontrar una solución en particular. Con el tiempo, como veremos, será útil tener la solución complementaria a mano, por lo que es mejor tener el hábito de encontrarla primero antes de trabajar con coeficientes indeterminados.

Ahora, procedamos a encontrar una solución en particular. Como se mencionó antes del comienzo de este ejemplo, debemos adivinar la forma de una solución particular para esta ecuación diferencial. Dado que (g (t) ) es una exponencial y sabemos que las exponenciales nunca aparecen o desaparecen en el proceso de diferenciación, parece que una forma probable de la solución particular sería

Ahora, todo lo que tenemos que hacer es hacer un par de derivadas, conectar esto a la ecuación diferencial y ver si podemos determinar qué debe ser (A ).

Conectar a la ecuación diferencial da

Entonces, para que nuestra suposición sea una solución, necesitaremos elegir (A ) de modo que los coeficientes de las exponenciales a cada lado del signo igual sean los mismos. En otras palabras, debemos elegir (A ) para que,

[- 7A = 3 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> A = - frac <3> <7> ]

Bien, encontramos un valor para el coeficiente. Esto significa que lo adivinamos correctamente. Una solución particular a la ecuación diferencial es entonces,

Antes de continuar, observemos nuevamente que comenzamos con la solución anterior encontrando la solución complementaria. Esto no es técnicamente parte del método de coeficientes indeterminados, sin embargo, como veremos eventualmente, tener esto a mano antes de hacer nuestra suposición para la solución en particular puede ahorrarnos mucho trabajo y / o dolor de cabeza. Encontrar la solución complementaria primero es simplemente un buen hábito, por lo que intentaremos que se acostumbre a lo largo de los siguientes ejemplos. En este punto no se preocupe por qué es un buen hábito. Eventualmente veremos por qué es un buen hábito.

Ahora, volvamos al trabajo que tenemos entre manos. Observe en el último ejemplo que seguimos diciendo "una" solución en particular, no "la" solución en particular. Esto se debe a que existen otras posibilidades para la solución particular que acabamos de encontrar. Cualquiera de ellos funcionará a la hora de escribir la solución general de la ecuación diferencial.

Hablando de eso ... Esta sección está dedicada a encontrar soluciones particulares y la mayoría de los ejemplos encontrarán solo la solución particular. Sin embargo, deberíamos hacer al menos un IVP completo para asegurarnos de que podemos decir que hemos hecho uno.

Sabemos que la solución general será de la forma,

[y left (t right) = izquierda (t derecha) + left (t right) ]

y ya tenemos la solución complementaria y particular del primer ejemplo, por lo que realmente no necesitamos hacer ningún trabajo adicional para este problema.

Uno de los errores más comunes en estos problemas es encontrar la solución complementaria y luego, como probablemente tengamos la costumbre de hacerlo, aplicar las condiciones iniciales a la solución complementaria para encontrar las constantes. Sin embargo, esto es incorrecto. La solución complementaria es solo la solución a la ecuación diferencial homogénea y buscamos una solución a la ecuación diferencial no homogénea y las condiciones iniciales deben satisfacer esa solución en lugar de la solución complementaria.

Entonces, necesitamos la solución general de la ecuación diferencial no homogénea. Tomando la solución complementaria y la solución particular que encontramos en el ejemplo anterior obtenemos lo siguiente para una solución general y su derivada.

Ahora, aplique las condiciones iniciales a estos.

Resolver este sistema da (c_ <1> = 2 ) y (c_ <2> = 1 ). La solución real es entonces.

Este será el único PVI en esta sección, ¡así que no olvide cómo se hacen para ecuaciones diferenciales no homogéneas!

Echemos un vistazo a otro ejemplo que dará el segundo tipo de (g (t) ) para el que funcionarán coeficientes indeterminados.

Nuevamente, observemos que probablemente deberíamos encontrar la solución complementaria antes de proceder con la suposición de una solución en particular. Sin embargo, debido a que la ecuación diferencial homogénea para este ejemplo es la misma que para el primer ejemplo, no nos preocuparemos por eso aquí.

Ahora, tomemos nuestra experiencia del primer ejemplo y aplíquela aquí. El primer ejemplo tenía una función exponencial en (g (t) ) y nuestra suposición era exponencial. Esta ecuación diferencial tiene un seno, así que intentemos la siguiente suposición para la solución particular.

[ left (t right) = A sin left (<2t> right) ]

Diferenciar y conectar en la ecuación diferencial da,

[- 4A sin left (<2t> right) - 4 left (<2A cos left (<2t> right)> right) - 12 left ( right)> right) = sin left (<2t> right) ]

Recopilar términos semejantes produce

[- 16A sin left (<2t> right) - 8A cos left (<2t> right) = sin left (<2t> right) ]

Necesitamos elegir (A ) para obtener la misma función en ambos lados del signo igual. Esto significa que los coeficientes de los senos y cosenos deben ser iguales. O,

Note dos cosas. Primero, dado que no hay coseno en el lado derecho, esto significa que el coeficiente debe ser cero en ese lado. Más importante aún, tenemos un problema grave aquí. Para que el coseno desaparezca, como debe ser para que la suposición satisfaga la ecuación diferencial, necesitamos establecer (A = 0 ), pero si (A = 0 ), el seno también caerá y eso no puede suceder. Del mismo modo, elegir (A ) para mantener el seno alrededor también mantendrá el coseno alrededor.

Lo que esto significa es que nuestra suposición inicial estaba equivocada. Si obtenemos múltiples valores de la misma constante o no podemos encontrar el valor de una constante, entonces hemos adivinado mal.

Uno de los aspectos más agradables de este método es que cuando adivinamos mal, nuestro trabajo a menudo sugerirá una solución. En este caso, el problema fue el coseno que apareció. Entonces, para contrarrestar esto, agreguemos un coseno a nuestra suposición. Nuestra nueva conjetura es

[ left (t right) = A cos left (<2t> right) + B sin left (<2t> right) ]

Conectando esto a la ecuación diferencial y recolectando términos semejantes da,

[empezar - 4A cos left (<2t> right) - 4B sin left (<2t> right) - 4 left (<- 2A sin left (<2t> right) + 2B cos izquierda (<2t> derecha)> derecha) - 12 izquierda ( right) + B sin left (<2t> right)> right) & = sin left (<2t> right) left (<- 4A - 8B - 12A> right) cos left (<2t> right) + left (<- 4B + 8A - 12B> right) sin left (<2t> right) & = sin left (<2t> right) left (<- 16A - 8B> right) cos left (<2t> right) + left (<8A - 16B> right) sin left (<2t> right) & = sin left (<2t> right) end]

Ahora, establezca los coeficientes iguales

Resolver este sistema nos da

Encontramos constantes y esta vez adivinamos correctamente. Una solución particular a la ecuación diferencial es entonces,

[ left (t right) = frac <1> <<40>> cos left (<2t> right) - frac <1> <<20>> sin left (<2t> right ) ]

Observe que si hubiéramos tenido un coseno en lugar de un seno en el último ejemplo, nuestra suposición habría sido la misma. De hecho, si hubieran aparecido tanto un seno como un coseno, veremos que la misma suposición también funcionará.

Echemos un vistazo al tercer y último tipo de (g (t) ) básico que podemos tener. Hay otros tipos de (g (t) ) que podemos tener, pero como veremos, todos volverán a dos tipos que ya hemos hecho, así como al siguiente.

Una vez más, generalmente querremos tener la solución complementaria en la mano primero, pero nuevamente estamos trabajando con la misma ecuación diferencial homogénea (eventualmente verá por qué seguimos trabajando con el mismo problema homogéneo), así que nuevamente nos referiremos a el primer ejemplo.

Para este ejemplo, (g (t) ) es un polinomio cúbico. Para esto, necesitaremos la siguiente suposición para la solución particular.

[ left (t right) = A + B + Ct + D ]

Tenga en cuenta que aunque (g (t) ) no tiene () en él, ¡nuestra suposición todavía necesitará uno! Entonces, diferencie y conecte la ecuación diferencial.

[empezar6At + 2B - 4 izquierda (<3A+ 2Bt + C> derecha) - 12 izquierda ( <>+ B + Ct + D> derecha) & = 2 - t + 3 - 12A + izquierda (<- 12A - 12B> derecha) + izquierda (<6A - 8B - 12C> derecha) t + 2B - 4C - 12D & = 2 - t + 3 end]

Ahora, como hemos hecho en los ejemplos anteriores, necesitaremos que los coeficientes de los términos en ambos lados del signo igual sean iguales, así que establezca los coeficientes iguales y resuelva.

Observe que en este caso fue muy fácil resolver las constantes. La primera ecuación dio (A ). Entonces, una vez que supimos (A ), la segunda ecuación dio (B ), etc. Una solución particular para esta ecuación diferencial es entonces

Ahora que hemos repasado los tres tipos básicos de funciones en las que podemos usar coeficientes indeterminados, resumamos.

(g (t) ) (Y_

(t) ) adivinar

(a << bf> ^ < beta t >> ) (A << bf> ^ < beta t >> )
(a cos left (< beta t> right) ) (A cos left (< beta t> right) + B sin left (< beta t> right) )
(b sin left (< beta t> right) ) (A cos left (< beta t> right) + B sin left (< beta t> right) )
(a cos left (< beta t> right) + b sin left (< beta t> right) ) (A cos left (< beta t> right) + B sin left (< beta t> right) )
(n ^ < mbox> ) polinomio de grados ( + <>><>> + cdots t + )

Observe que en realidad solo hay tres tipos de funciones dadas anteriormente. Si lo piensa, las funciones de coseno simple y seno simple son casos realmente especiales del caso en el que están presentes tanto el seno como el coseno. Además, todavía no hemos justificado la conjetura para el caso en el que aparecen tanto un seno como un coseno. Lo justificaremos más adelante.

Ahora necesitamos pasar a algunas funciones más complicadas. Las funciones más complicadas surgen al tomar productos y sumas de los tipos básicos de funciones. Primero veamos los productos.

Probablemente se esté cansando del comentario de apertura, pero nuevamente, encontrar la solución complementaria primero es realmente una buena idea, pero nuevamente ya hicimos el trabajo en el primer ejemplo, así que no lo volveremos a hacer aquí. Prometemos que eventualmente verá por qué seguimos usando el mismo problema homogéneo y por qué decimos que es una buena idea tener primero la solución complementaria a mano. En este punto, todo lo que estamos tratando de hacer es reforzar el hábito de encontrar primero la solución complementaria.

Bien, comencemos escribiendo las conjeturas para las partes individuales de la función. La suposición de (t ) sería

mientras que la suposición de la exponencial sería

Ahora, dado que tenemos un producto de dos funciones, parece que podría funcionar tomar un producto de las suposiciones para las piezas individuales. Hacer esto daría

Sin embargo, tendremos problemas con esto. Como veremos, cuando conectemos nuestra suposición a la ecuación diferencial, solo obtendremos dos ecuaciones de esta. El problema es que con esta suposición tenemos tres constantes desconocidas. Con solo dos ecuaciones no seremos capaces de resolver todas las constantes.

Sin embargo, esto es fácil de solucionar. Observemos que podríamos hacer lo siguiente

Si multiplicamos (C ) a través, podemos ver que la suposición se puede escribir de tal manera que en realidad solo hay dos constantes. Entonces, usaremos lo siguiente para nuestra suposición.

Observe que esto no es más que la suposición de (t ) con un exponencial agregado para una buena medida.

Ahora que tenemos nuestra suposición, vamos a diferenciar, conectar la ecuación diferencial y recopilar términos semejantes.

Tenga en cuenta que cuando recopilamos términos semejantes, queremos que el coeficiente de cada término tenga solo constantes. Siguiendo esta regla, obtendremos dos términos cuando recopilemos términos similares. Ahora, iguale los coeficientes.

Una solución particular para esta ecuación diferencial es entonces

Este último ejemplo ilustró la regla general que seguiremos cuando los productos involucran un exponencial. Cuando un producto involucra un exponencial, primero eliminaremos el exponencial y escribiremos la suposición para la parte de la función sin el exponencial, luego regresaremos y agregaremos el exponencial sin ningún coeficiente principal.

Echemos un vistazo a algunos productos más. En aras de la brevedad, simplemente escribiremos la suposición para una solución particular y no repasaremos todos los detalles para encontrar las constantes. Además, debido a que no vamos a dar una ecuación diferencial real, no podemos ocuparnos de encontrar la solución complementaria primero.

  1. (g left (t right) = 16 << bf> ^ <7t>> sin left (<10t> right) )
  2. (g left (t right) = left (<9- 103t> derecha) cos t )
  3. (g left (t right) = - << bf> ^ <- 2t >> izquierda (<3 - 5t> derecha) cos izquierda (<9t> derecha) )

Entonces, tenemos un exponencial en la función. Recuerda la regla. Ignoraremos el exponencial y escribiremos una suposición para (16 sin left (<10t> right) ) y luego volveremos a poner el exponencial.

La suposición del seno es

[A cos left (<10t> right) + B sin left (<10t> right) ]

Ahora, para la suposición real de la solución particular, tomaremos la suposición anterior y agregaremos un exponencial. Esto da,

Una nota final antes de pasar a la siguiente parte. El 16 delante de la función no tiene nada que ver con nuestra suposición. Cualquier constante que multiplique la función completa se ignora.

Comenzaremos este de la misma manera en que comenzamos inicialmente el ejemplo anterior. La suposición del polinomio es

y la suposición del coseno es

Si multiplicamos las dos suposiciones, obtenemos.

Simplifiquemos un poco las cosas. Primero multiplica el polinomio de la siguiente manera.

[empezarizquierda( <>+ Bt + C> derecha) izquierda ( derecha) + izquierda ( <>+ Bt + C> derecha) izquierda ( derecha izquierda( <>+ BDt + CD> derecha) cos t + izquierda ( <>+ BEt + CE> derecha) sin t end]

Observe que dondequiera que ocurra una de las constantes desconocidas es producto de constantes desconocidas. Esto significa que si analizamos y usamos esto como nuestra suposición, el sistema de ecuaciones que necesitaríamos resolver para las constantes desconocidas tendría productos de las incógnitas en ellas. Generalmente, estos tipos de sistemas son muy difíciles de resolver.

Entonces, para evitar esto haremos lo mismo que hicimos en el ejemplo anterior. Dondequiera que veamos un producto de constantes, le cambiaremos el nombre y lo llamaremos una única constante. La suposición que usaremos para esta función será.

[ left (t right) = left ( <>+ Bt + C> derecha) cos t + izquierda ( <>+ Et + F> derecha) sin t ]

Esta es una regla general que usaremos cuando nos enfrentemos a un producto de un polinomio y una función trigonométrica. Escribimos la suposición del polinomio y luego la multiplicamos por un coseno. Luego escribimos la suposición para el polinomio nuevamente, usando diferentes coeficientes, y lo multiplicamos por un seno.

Esta parte final tiene las tres partes. Primero, ignoraremos el exponencial y escribiremos una suposición.

El signo menos también se puede ignorar. La suposición de esto es

[izquierda( right) cos left (<9t> right) + left ( right) sin left (<9t> right) ]

Ahora, agregue una vuelta exponencial y hemos terminado.

Observe que ponemos el exponencial en ambos términos.

Hay un par de reglas generales que debe recordar para los productos.

    Si (g (t) ) contiene un exponencial, ignórelo y escriba la suposición para el resto. Luego vire el exponencial de nuevo sin ningún coeficiente principal.

Si puede recordar estas dos reglas, no se equivocará con los productos. Anotar las conjeturas para los productos no suele ser tan difícil. La dificultad surge cuando realmente necesitas encontrar las constantes.

Ahora, echemos un vistazo a las sumas de los componentes básicos y / o productos de los componentes básicos. Para hacer esto, necesitaremos el siguiente hecho.

Si y_(t) ) es una solución particular para

[y '' + p left (t right) y '+ q left (t right) y = left (t right) ]

y si (Y_(t) ) es una solución particular para

[y '' + p left (t right) y '+ q left (t right) y = left (t right) ]

Después y_(t) ) + (Y_(t) ) es una solución particular para

[y '' + p left (t right) y '+ q left (t right) y = izquierda (t derecha) + left (t right) ]

Este hecho se puede utilizar tanto para encontrar soluciones particulares a ecuaciones diferenciales que tienen sumas como para escribir conjeturas para funciones que tienen sumas.

Este ejemplo es la razón por la que hemos estado usando la misma ecuación diferencial homogénea para todos los ejemplos anteriores. No hay nada que ver con este problema. Todo lo que tenemos que hacer es volver a los ejemplos apropiados anteriores y obtener la solución particular de ese ejemplo y agregarlos todos juntos.

Echemos un vistazo a un par de ejemplos más. Al igual que con los productos, aquí solo obtendremos conjeturas y no nos preocuparemos por encontrar los coeficientes.

  1. (g left (t right) = 4 cos left (<6t> right) - 9 sin left (<6t> right) )
  2. (g left (t right) = - 2 sin t + sin left (<14t> right) - 5 cos left (<14t> right) )
  3. (g left (t right) = << bf> ^ <7t>> + 6 )
  4. (g left (t right) = 6 - 7 sin izquierda (<3t> derecha) + 9 )
  5. (g left (t right) = 10 << bf> ^ t> - 5t << bf> ^ <- 8t >> + 2 << bf> ^ <- 8t >> )
  6. (g left (t right) = cos t - 5t sin t )
  7. (g left (t right) = 5 << bf> ^ <- 3t >> + << bf> ^ <- 3t >> cos left (<6t> right) - sin left (<6t> right) )

Este primero ya le hemos dicho cómo hacerlo. Esto está en la tabla de funciones básicas. Sin embargo, queríamos justificar la suposición que hicimos allí. Usando el hecho en sumas de funciones, estaríamos tentados a escribir una suposición para el coseno y una suposición para el seno. Esto daría.

Entonces, obtendríamos un coseno de cada conjetura y un seno de cada conjetura. El problema con esto como una suposición es que solo obtendremos dos ecuaciones para resolver después de conectar la ecuación diferencial y, sin embargo, tenemos 4 incógnitas. Nunca podremos resolver cada una de las constantes.

Para solucionar este aviso, podemos combinar algunos términos de la siguiente manera.

[izquierda( right) cos left (<6t> right) + left ( right) sin left (<6t> right) ]

Al hacer esto, podemos ver que realmente tenemos un solo coseno con un coeficiente y un solo seno con un coeficiente, por lo que también podemos usar

[ left (t right) = A cos left (<6t> right) + B sin left (<6t> right) ]

La regla general para anotar conjeturas para funciones que involucran sumas es combinar siempre términos semejantes en términos únicos con coeficientes únicos. Esto simplificará enormemente el trabajo requerido para encontrar los coeficientes.

Para este obtendremos dos conjuntos de senos y cosenos. Esto surgirá porque tenemos dos argumentos diferentes en ellos. Obtendremos un conjunto para el seno con solo (t ) como argumento y obtendremos otro conjunto para el seno y el coseno con 14 (t ) como argumentos.

La suposición de esta función es

[ left (t right) = A cos t + B sin t + C cos left (<14t> right) + D sin left (<14t> right) ]

El punto principal de este problema es lidiar con la constante. Pero eso no es tan malo. Solo queríamos asegurarnos de que haya un ejemplo de eso en alguna parte de las notas. Si recuerda que una constante no es más que un polinomio de grado cero, la suposición se vuelve clara.

La suposición de esta función es

Este puede ser un poco complicado si no prestas atención. Primero reescribamos la función

[empezarg izquierda (t derecha) & = 6 - 7 sin left (<3t> right) + 9 hspace <0.25in> < mbox> g left (t right) & = 6 + 9 - 7 sin left (<3t> right) end]

Todo lo que hicimos fue mover el 9. Sin embargo, al hacer eso, vemos que la función es realmente una suma de un polinomio cuadrático y un seno. La conjetura de esto es entonces

[ left (t right) = A + Bt + C + D cos left (<3t> right) + E sin left (<3t> right) ]

Si no hacemos esto y tratamos la función como la suma de tres términos, obtendríamos

[A + Bt + C + D cos left (<3t> right) + E sin left (<3t> right) + G ]

y al igual que con la primera parte de este ejemplo, terminaríamos con dos términos que son esencialmente iguales (el (C ) y el (G )) y por lo tanto tendrían que combinarse. Un paso adicional que no es realmente necesario si primero reescribimos la función.

Busque problemas en los que reorganizar la función pueda simplificar la conjetura inicial.

Entonces, parece que tenemos una suma de tres términos aquí. Escribamos una suposición para eso.

Sin embargo, observe que si tuviéramos que multiplicar el exponencial en el segundo término, terminaríamos con dos términos que son esencialmente iguales y tendrían que combinarse. Este es un caso en el que la suposición de un término está completamente contenida en la suposición de un término diferente. Cuando esto sucede, simplemente descartamos la suposición que ya está incluida en el otro término.

Entonces, la suposición aquí es en realidad.

Observe que esto surgió porque teníamos dos términos en nuestro (g (t) ) cuya única diferencia era el polinomio que estaba frente a ellos. Cuando esto sucede, miramos el término que contiene el polinomio de mayor grado, anote la suposición para eso y no se moleste en escribir la suposición para el otro término, ya que esa suposición estará completamente contenida en la primera suposición.

En este caso, tenemos dos términos cuya suposición sin los polinomios delante de ellos sería la misma. Por lo tanto, tomaremos el que tenga el polinomio de grado más grande delante y escribiremos la suposición para ese e ignoraremos el otro término. Entonces, la suposición de la función es

[ left (t right) = left ( <>+ Bt + C> derecha) cos t + izquierda ( <>+ Et + F> derecha) sin t ]

Esta última parte está diseñada para asegurarse de que comprenda la regla general que usamos en las dos últimas partes. Esta vez realmente hay tres términos y necesitaremos una suposición para cada término. La suposición aquí es

Solo podemos combinar conjeturas si son idénticas hasta la constante. Entonces, no podemos combinar la primera exponencial con la segunda porque la segunda en realidad se multiplica por un coseno y un seno, por lo que las dos exponenciales son de hecho funciones diferentes. Del mismo modo, el último seno y coseno no se pueden combinar con los del término medio porque el seno y el coseno del término medio se multiplican por un exponencial y, por lo tanto, son diferentes.

Por lo tanto, cuando trabaje con sumas de funciones, asegúrese de buscar conjeturas idénticas que puedan o no estar contenidas en otras conjeturas y combínelas. Esto simplificará su trabajo más adelante.

Tenemos un último tema en esta sección que debe tratarse. En los primeros ejemplos insistíamos constantemente en la utilidad de tener la solución complementaria a mano antes de adivinar una solución en particular. Nunca dimos ninguna razón para este otro que “confía en nosotros”. Ahora es el momento de ver por qué es útil tener la solución complementaria a mano primero. Esto se muestra mejor con un ejemplo, así que vayamos a uno.

Este problema parece demasiado simple para plantearlo tan tarde en la sección. Esto es especialmente cierto dada la facilidad de encontrar una solución particular para (g ) ( (t )) que son solo funciones exponenciales. Además, debido a que el objetivo de este ejemplo es ilustrar por qué generalmente es una buena idea tener la solución complementaria a mano primero, vamos a seguir adelante y recordar la solución complementaria primero. Aquí lo tienes,

Ahora, sin preocuparnos por la solución complementaria durante un par de segundos más, sigamos adelante y trabajemos en la solución en particular. No hay mucho que adivinar aquí. De nuestro trabajo anterior sabemos que la suposición de la solución particular debería ser,

Conectando esto a la ecuación diferencial da,

Hmmmm…. Algo parece estar mal aquí. Claramente, una exponencial no puede ser cero. Entonces, ¿qué salió mal? Finalmente necesitamos la solución complementaria. Observe que el segundo término en la solución complementaria (enumerada arriba) es exactamente nuestra suposición para la forma de la solución particular y ahora recuerde que ambas porciones de la solución complementaria son soluciones de la ecuación diferencial homogénea,

En otras palabras, es mejor que hayamos obtenido cero conectando nuestra suposición en la ecuación diferencial, ¡es una solución a la ecuación diferencial homogénea!

Entonces, ¿cómo solucionamos esto? La forma en que arreglamos esto es agregando un (t ) a nuestra suposición de la siguiente manera.

Conectando esto a nuestra ecuación diferencial da,

Ahora, podemos igualar los coeficientes.

Entonces, la solución particular en este caso es,

Entonces, ¿qué aprendimos de este último ejemplo? Si bien técnicamente no necesitamos la solución complementaria para hacer coeficientes indeterminados, puede realizar un montón de trabajo solo para descubrir al final que necesitaba agregar un (t ) a la suposición porque apareció en el solución complementaria. Este trabajo se puede evitar si primero encontramos la solución complementaria y comparamos nuestra suposición con la solución complementaria y vemos si alguna parte de su suposición aparece en la solución complementaria.

Si una parte de su suposición aparece en la solución complementaria, entonces tendremos que modificar esa parte de la suposición agregando un (t ) a la parte de la suposición que está causando los problemas. Sin embargo, debemos tener un poco de cuidado y asegurarnos de agregar (t ) en el lugar correcto. El siguiente conjunto de ejemplos le mostrará cómo hacer esto.

  1. (y '' + 3y '- 28y = 7t + << bf> ^ <- 7t >> - 1 )
  2. (y '' - 100y = 9<< bf> ^ <10t>> + cos t - t sin t )
  3. (4y '' + y = << bf> ^ <- 2t >> sin left (< frac<2>> derecha) + 6t cos izquierda (< frac<2>> derecha) )
  4. (4y '' + 16y '+ 17y = << bf> ^ <- 2t >> sin left (< frac<2>> derecha) + 6t cos izquierda (< frac<2>> derecha) )
  5. (y '' + 8y '+ 16y = << bf> ^ <- 4t >> + izquierda (<+ 5> derecha) << bf> ^ <- 4t >> )

En estas soluciones, le dejaremos los detalles de la verificación de la solución complementaria.

La solución complementaria es

Recordar poner el “-1” con el 7 (t ) da una primera aproximación para la solución particular.

Observe que el último término de la estimación es el último término de la solución complementaria. Sin embargo, los dos primeros términos no son un problema y no aparecen en la solución complementaria. Por lo tanto, solo agregaremos (t ) al último término.

La suposición correcta para la forma de la solución particular es.

La solución complementaria es

Una primera conjetura para la solución particular es

[ left (t right) = left ( <>+ Bt + C> derecha) << bf> ^ <10t>> + izquierda ( right) cos t + left ( derecha) sin t ]

Observe que si multiplicamos el término exponencial a través del paréntesis, terminaríamos mostrando parte de la solución complementaria. Dado que la parte del problema surge del primer término, entero el primer término se multiplicará por (t ). El segundo y tercer términos están bien tal como están.

La suposición correcta para la forma de la solución particular en este caso es.

[ izquierda (t derecha) = t izquierda ( <>+ Bt + C> derecha) << bf> ^ <10t>> + izquierda ( right) cos t + left ( derecha) sin t ]

Entonces, en general, si tuviera que multiplicar una suposición y si algún término en el resultado aparece en la solución complementaria, entonces el término completo obtendrá un (t ) no solo la parte problemática del término.

La solución complementaria es

Una primera conjetura para la solución particular es

En este caso, tanto el segundo como el tercer término contienen partes de la solución complementaria. Sin embargo, el primer término no, ya que al multiplicar, tanto el seno como el coseno tendrían un exponencial con ellos y eso no es parte de la solución complementaria. Solo tenemos que preocuparnos por los términos que aparecen en la solución complementaria si la única diferencia entre el término de la solución complementaria y el término de conjetura particular es la constante frente a ellos.

Entonces, en este caso, el segundo y tercer términos obtendrán un (t ) mientras que el primero no

La suposición correcta para la forma de la solución particular es.

Para solucionar este problema, cambiamos la ecuación diferencial del último ejemplo y dejamos (g (t) ) solo. La solución complementaria esta vez es

Al igual que con la última parte, una primera conjetura para la solución particular es

Esta vez, sin embargo, es el primer término el que causa problemas y no el segundo o el tercero. De hecho, el primer término es exactamente la solución complementaria y, por lo tanto, necesitará una (t ). Recuerde que solo tendremos un problema con un término en nuestra suposición si solo difiere de la solución complementaria por una constante. El segundo y tercer términos en nuestra suposición no tienen el exponencial en ellos y, por lo tanto, no difieren de la solución complementaria por solo una constante.

La suposición correcta para la forma de la solución particular es.

La solución complementaria es

Los dos términos en (g (t) ) son idénticos con la excepción de un polinomio delante de ellos. Entonces, esto significa que solo necesitamos mirar el término con el polinomio de mayor grado delante de él. Una primera conjetura para la solución particular es

Observe que si multiplicamos el término exponencial por el paréntesis, los dos últimos términos serían la solución complementaria. Por lo tanto, necesitaremos multiplicar todo esto por a (t ).

La siguiente suposición para la solución particular es entonces.

Sin embargo, esto todavía causa problemas. Si multiplicamos (t ) y el exponencial, el último término seguirá estando en la solución complementaria. En este caso, a diferencia de los anteriores, un (t ) no fue suficiente para solucionar el problema. Entonces, agregaremos otro (t ) a nuestra suposición.

La suposición correcta para la forma de la solución particular es.

Al multiplicar esto, ninguno de los términos está en la solución complementaria, por lo que estará bien.

Como ha demostrado este último conjunto de ejemplos, realmente deberíamos tener la solución complementaria a mano antes incluso de escribir la primera conjetura para la solución particular. Al hacer esto, podemos comparar nuestra suposición con la solución complementaria y si aparece alguno de los términos de su solución particular, sabremos que tendremos problemas. Una vez que se identifica el problema, podemos agregar (t ) a los términos del problema y comparar nuestra nueva conjetura con la solución complementaria. Si no hay problemas, podemos continuar con el problema, si hay problemas agregue otro (t ) y compare nuevamente.

¿Puede ver una regla general sobre cuándo se necesitará un (t ) y cuándo t 2 será necesario para las ecuaciones diferenciales de segundo orden?


Ver el vídeo: Ecuación de una recta dados dos puntos literal A (Octubre 2021).